Seminarios anteriores

Cotas inferiores para la entropía del locus de no hiperbolicidad

Lorenzo Díaz — PUC-Rio, Brasil

En el contexto de dinámicas parcialmente hiperbólicas que admiten medidas ergódicas con exponentes de Lyapunov positivos, negativos y nulos, estudiaremos el conjunto de puntos que tienen algún exponente de Lyapunov nulo. En particular, presentaremos cotas inferiores de carácter dinámico para la entropía topológica de este conjunto. Trabajo en colaboración con R. Ures, D. Wang y J. Yang.

Recycle your heterodimensional cycle: an ergodic approach

Katrin Gelfert — UFRJ, Brasil

We define the concept of heterodimensional cycles between hyperbolic ergodic measures of different indices. We study what impact the existence of such a cycle has on the topological properties of the space of invariant measures and present some examples. This is joint work with L. Díaz and Ch. Bonatti.

El espacio de medidas invariantes de difeomorfismos tipo Kan

Bárbara Núñez Madariaga — PUCV-UV-UTFSM, Chile

En 1994, Ittai Kan introdujo una construcción para demostrar que un difeomorfismo parcialmente hiperbólico del tipo K(x,y,t)=(3x+y, 2x+y, t+f(x,t)) admite exactamente dos medidas físicas con cuencas densamente entrelazadas, es decir, todo abierto no vacío del espacio ambiente contiene conjuntos de medida Lebesgue positiva pertenecientes a la cuenca de cada una de las medidas físicas. Motivados por esta construcción, se estudian los componentes fundamentales que generan este fenómeno para una clase general de difeomorfismos tipo Kan, definidos como skew-product sobre una base de Anosov transitiva, usando técnicas de exponentes de Lyapunov, foliaciones invariantes, descomposición ergódica y el Principio de Invariancia de Avila-Viana.

Caos topológico en transformaciones beta simétricas

Rafael Alcaraz Barrera — Universidad Autónoma de San Luis Potosí, México

Tras su introducción por Rényi y Parry en la década de 1960, las transformaciones beta han atraído la atención de matemáticos de distintas áreas debido a su estrecha relación con la dinámica unidimensional, la dinámica simbólica y la teoría de números. En esta charla se da una introducción a este tipo de transformaciones del intervalo y se explica por qué exhiben diversas propiedades caóticas, presentando además algunos resultados parciales sobre las propiedades de los conjuntos de Li-Yorke para transformaciones beta que satisfacen una condición de simetría. Trabajo conjunto con Carlos Rubén Osorio Anderson.

El espacio de moduli de quasimorfismos sobre shifts de tipo finito

Pablo Carrasco — Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Brasil

Se considera un espacio de moduli asociado a quasimorfismos "positivos" y se exploran algunas consecuencias geométricas. Dado un grupo G, un quasimorfismo es un mapa L del grupo en los reales donde L(ab) está a distancia uniformemente acotada de L(a)+L(b); entender tales mapas está íntimamente relacionado con la geometría del grupo base. Pasando a un lenguaje dinámico donde el quasimorfismo se traduce en un objeto sobre un subshift de tipo finito, se utilizan técnicas de formalismo termodinámico para su estudio. Trabajo en marcha junto con Stephen Cantrell, Emilio Corzo y Federico Rodríguez-Hertz.

Dinámicas no lineales en sistemas ecológicos

Viviana Rivera Estay — Universidad Arturo Prat, Chile

Los sistemas ecológicos exhiben comportamientos dinámicos variados como equilibrios estables, oscilaciones y transiciones de régimen. La charla explora cómo la teoría de sistemas dinámicos ilumina estos patrones complejos a través de ejemplos de dinámica de poblaciones, mostrando cómo cambios en interacciones biológicas, condiciones ambientales y estructura espacial modifican el comportamiento a largo plazo.

Inverse SRB measures for endomorphisms on the two torus

Victor Janeiro — Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Brasil

Propiedad SPR para una clase de skew-products

Karina Marín — Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Brasil

Para skew-products con fibras bidimensionales, se establece una relación entre la continuidad de la entropía fibrada y la continuidad de los exponentes de Lyapunov de la fibra, extendiendo el teorema para superficies demostrado por Buzzi-Crovisier-Sarig. Como consecuencia, se obtienen clases de skew-products que satisfacen la propiedad "strong positive recurrence" (SPR); en particular, estos sistemas tienen un número finito de medidas de entropía máxima, todas con buenas propiedades estadísticas. Trabajo conjunto con Mauricio Poletti (UFC) y Filiphe Veiga (UFMG).

Atractores de tipo Birkhoff

Martín Sambarino — Universidad de la República (UdelaR), Uruguay

Los atractores de Birkhoff surgen del estudio de mapas disipativos del anillo que desvían la vertical. Estos atractores tienen una estructura topológica complicada (continuo indescomponible) cuando su conjunto de rotación es no trivial. La charla generaliza esta noción de atractores y estudia su continuidad y la de su conjunto de rotación en relación a la variación del mapa del anillo.

¿Qué son las correspondencias holomorfas?

Vanessa Matus de la Parra — Stony Brook University, Estados Unidos

Se introduce la noción de correspondencia holomorfa como un objeto natural donde ambos lados del diccionario de Sullivan coexisten, y se resume lo que se conoce en términos de equidistribución y entropía. Si el tiempo lo permite, se habla del Multibrot y el Multiverse, así como de funciones de Green para el caso de diferentes bi-grados.

Exploring the behavior of the horocycle flow on hyperbolic surfaces

Françoise Dal'Bo-Milonet — Université de Rennes, Francia

When the injectivity radius of the surface is finite, it is known that horocycle trajectories are closed or have non minimal closure, except if the surface is "convex-cocompact". If we add the condition that the injectivity radius is >0, then all ergodic measures m, invariant by the horocycle flow are quasi-invariant ( i-e the image of m by any time of the geodesic flow is absolutely continuous with respect to m). In this talk, I will explain how to construct a hyperbolic surface admitting a non trivial minimal set for the horocycle flow and a conservative and ergodic invariant measure which is not quasi-invariant. Joint work with J. Farre, O. Landesberg and Y. Minsky.

Invariant partitions for homeomorphisms isotopic to a pseudo-Anosov homeomorphism

Emmanuel Militon — Université Côté d'Azur, Francia

Pseudo-Anosov homeomorphisms are a generalization of Anosov automorphisms of the 2-torus to higher genus surfaces. In this talk, we will discuss how much the dynamics of a homeomorphism isotopic to a pseudo-Anosov homeomorphism looks like the dynamics of the actual pseudo-Anosov homeomorphism. More precisely, we will discuss the connections between a semi-conjugacy result by Handel, a more precise result by Fathi which gives invariant stable and unstable partitions of the surface and a new way to obtain these partitions.

Computer-assisted proof of robust transitivity

Marisa Cantarino — CMM, Chile

A smooth dynamical system is transitive if it has a dense orbit, loosely meaning that it has some chaos in a topological sense. If this property holds for all diffeomorphisms in a $C^1$ -neighborhood, we say that systems in this neighborhood are robustly transitive. By Bonatti, Diaz and Pujals (2003), robustly transitive diffeomorphisms are volume hyperbolic, and thus they have positive topological entropy, being chaotic in a strict sense and in a robust way. Robust properties are key in classifying smooth dynamical systems, and they are also desirable to model applications. We develop a computer-assisted strategy to prove robust transitivity in dimension 3 that includes the proof of the existence of a blender. We present a family of D.A. (derived-from-Anosov) systems on the 3-torus for which this strategy applies. This work in preparation is a collaboration with Andy Hammerlindl and Warwick Tucker.

Construcción de atractores fibrados de doble hoja

Igsyl Domínguez Calderón — PUCV, Chile

Introducimos el concepto de multi-curvas como conjuntos invariantes con índice mayor que uno en dinámica fibrada sobre una rotación irracional en el círculo unitario. Mostramos cómo estos conjuntos emergen en el caso cuadrático mediante perturbaciones controladas de parámetros parabólicos (asociados al Conjunto de Mandelbrot en el caso estático), demostrando su existencia y estabilidad como atractores bajo condiciones explícitas. Estos atractores de doble hoja, sin análogo directo en la dinámica clásica unidimensional, revelan una nueva topología estable en sistemas fibrados. Finalmente, comentamos interrogantes abiertas y resultados esperados sobre la estructura ergódica y la posible (no) hiperbolicidad de estos sistemas.

Exponentes de Lyapunov para cociclos lineales

Karina Marin — UFMG, Brasil

En esta charla presentaremos resultados sobre la continuidad de los exponentes de Lyapunov para cociclos lineales definidos sobre un shift de Bernoulli. Discutiremos también ejemplos de discontinuidad y problemas en abierto relacionados con estos tópicos.

From Anosov Katok method to analytic constructions

Yann Delaporte — Sorbonne Université, Francia

In 1970, Anosov and Katok develop a new method of Approximation by Conjugacy (AbC). This method has shown to be very efficient in building smooth dynamics with special behavior such as ergodicity, transitivity, minimal ergodicity and so on. However it encounters difficulties when it comes to the analytic settings. Therefore, in this talk, I'm going to present a generalization of the AbC method introduced by Berger which allows to obtain analyticity in the constructions. In particular, I will obtain analytic symplectomorphisms on the sphere, the disk and the cylinder which are ergodic.

Aproximación débil* y en entropía de medidas no hiperbólicas: un enfoque geométrico

Valeria Méndez Calderón — Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

En esta charla estudiaremos el artículo $"Weak^\ast$ and entropy approximation of nonhyperbolic measures: a geometrical approach", que analiza difeomorfismos $C^1$ robustamente transitivos y no hiperbólicos con una descomposición parcialmente hiperbólica, donde el fibrado central es unidimensional y las foliaciones fuertemente estable e inestable son minimales. Presentaremos el resultado principal del artículo, que establece la existencia de un subconjunto $C^1$ -abierto y denso de estos difeomorfismos en el cual toda medida ergódica no hiperbólica (es decir, con exponente de Lyapunov central cero) puede ser aproximada, tanto en la topología $débil^\ast$ como en entropía, por medidas soportadas en conjuntos básicos con exponente de Lyapunov central positivo o negativo. Analizaremos la técnica geométrica empleada en la demostración y sus implicaciones para la teoría de sistemas dinámicos parcialmente hiperbólicos.

Quasi ergodicity for open systems

Sandro Vaienti — Centre de Physique Théorique, Francia

We define quasi ergodicity for open systems (with holes) in the deterministic and random settings and we give related limit theorems. Joint with J. Atnip, G. Froyland, C. Gonzalez-Tokman and Y. Nakano

Dinámica no autónoma generalizada a través de morfismos de grupoides

Néstor Jara Lagos — Universidad de Chile, Chile

En esta charla explico cómo extender las nociones de dinámica no autónoma a grupos arbitrarios, a través de morfismos de groupoides. Esto también presenta una generalización de los sistemas dinámicos clásicos y de las acciones de grupos. Introduzco la estructura de cotraslaciones, como un tipo específico de morfismo de groupoide, y establezco una correspondencia entre cotraslaciones y skew-products. Presentamos aplicaciones de las cotraslaciones a ecuaciones no autónomas, tanto en diferencias como diferenciales. También proporcionamos varios otros ejemplos en diferentes grupos. Finalmente, discutimos algunas propiedades algebraicas y analíticas de esta estructura.

Decaimiento de correlaciones para ciertos atractores no uniformemente hiperbólicos

Sebastián Burgos — Penn State University, Estados Unidos

Un problema clásico en sistemas dinámicos es conocido como el problema de realización, el cual consiste en preguntar si dada una variedad compacta M, uno puede construir un difeomorfismo en M con ciertas propiedades ergódicas. Vamos a estudiar el decaimiento de correlaciones para ciertos sistemas dinámicos no uniformemente hiperbólicos con respecto a su medida SRB. El sistema g que vamos a considerar se obtiene de un difeomorfismo uniformemente hiperbólico f al que se le aplica el procedimiento de desaceleración. Bajo ciertas hipótesis en f y en la vecindad donde se aplica la desaceleración, concluimos que g admite decaimiento polinomial de correlaciones con respecto a la medida SRB y la clase de potenciales Hölder.

Homoclinic classes of geodesic flows on rank 1 manifolds

Yuri Lima — Universidade Federal do Ceará, Brasil

In a joint work with Mauricio Poletti, we prove that the homoclinic class of every hyperbolic periodic orbit of a geodesic flow over a rank 1 Riemannian manifold equals the unit tangent bundle. As an application, we give a proof using symbolic dynamics of the theorem of Knieper on the uniqueness of the measure of maximal entropy and theorems of Burns et al on the uniqueness of equilibrium states.

Medidas invariantes y absolutamente continuas para transformaciones del intervalo

Nicolás Arévalo Hurtado — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En esta charla repasaremos diferentes resultados que garantizan la existencia de medidas absolutamente continuas con respecto a Lebesgue de transformaciones monótonas a trozos en el intervalo unitario. Algunas aplicaciones serán presentadas. El objetivo final de la charla será mostrar resultados analogos de existencia respecto a medidas geométricas conformes de transformaciones que cumplen una noción de convexidad promedio en sus ramificaciones.

Ergodic averages of multiplicative actions and their applications

Sebastián Donoso — Universidad de Chile, Chile

In this talk, we will review recent progress in the study of averages in a measure-preserving system where the acting group is considered with multiplication instead of addition (we will call them "multiplicative actions"). I will present recent work on multiplicative actions of the Gaussian integers and provide several applications in number theory. This is based on joint work with A. Le, J. Moreira and W. Sun.

Estados de equilibrio para endomorfismos Parcialmente Hiperbólicos

Carlos Álvarez Escorcia — Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

En esta charla probaremos la existencia de estados de equilibrio para endomorfismos parcialmente hiperbólicos con centro unidimensional. Además, discutiremos sobre un escenario donde obtenemos ejemplos de endomorfismos intrínsecamente ergódicos. Este es un trabajo conjunto con Marisa Cantarino (Monash University).

Geodesic currents and the space of metric structures on hyperbolic groups

Eduardo Reyes — Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, Alemania

Geodesic currents on hyperbolic groups were introduced by Bonahon, and for fundamental groups of closed negatively curved manifolds they can be seen as measures on the unit tangent bundle that are invariant under the geodesic flow. Via stable length functions, geodesic currents interact with other structures that are not necessarily Riemannian, such as random walks, Anosov representations, actions on trees and CAT(0) cube complexes, etc. In this talk, I will discuss joint work with Stephen Cantrell on the space of metric structures, a generalization of Teichmuller space that encodes all the aforementioned structures. In particular, I will explain how the stable length functions of metric structures extend continuously to the space of currents, disproving a conjecture of Bonahon.

Conexidad de acciones de Z^d por difeomorfismos en dimensión uno

Andrés Navas — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta charla abordaré un teorema recientemente probado con Hélène Eynard-Bontemps (Inst. Fourier, Grenoble): el espacio de las acciones de $\mathbb{Z}^d$ sobre variedades 1-dimensionales por difeomorfismos de clase $\mathcal{C}^{1+ac}$ es conexo por arcos.

Representaciones del grupo de Higman

Cristóbal Rivas Espinosa — Universidad de Chile, Chile

El primer ejemplo de un grupo finitamente generado pero sin cocientes finitos es el grupo de Higman H. Este grupo tampoco admite representaciones lineales, pues los grupos de matrices finitamente generados siempre admiten muchos cocientes finitos. En esta charla discutiremos sobre representaciones no lineales de H y también sobre sus casi-representaciones.

Espacios de mapas continuos a trozos

Alfredo Calderón Céspedes — Universidad Católica Silva Henríquez, Chile

La posibilidad de describir ciertos fenómenos dinámicos depende fuertemente de la noción de proximidad que se considere sobre el espacio de sistemas. Bajo supuestos como continuidad y compacidad, la métrica uniforme suele ser apropiada para definir las perturbaciones del espacio y describir así fenómenos genéricos o estables. ¿Qué sucede en un contexto discontinuo? En esta charla exploramos algunas métricas sobre ciertos espacios de mapas continuos a trozos y su utilidad en dinámica. Además, discutiremos la posibilidad de dotar con más estructura dichos espacios, obteniendo asá algunos aspectos geométricos interesantes.

Inestabilidad y Rigidez en dinámica polinomial no-arquimediana

Jan Kiwi Krauskopf — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En el contexto dinámica polinomial sobre los números complejos, polinomios cuyo conjunto de Julia es un Cantor, están en la clausura del “shift locus" gracias a resultados de Branner y Hubbard (1998), Qiu, Yin y Zhai (2006), Kozlovski y Van Strien (2006). Es decir, son aproximados por dinámicas hiperbólicas conjugadas al “full shift" en finitos símbolos. El objetivo de la charla es exponer un resultado análogo en el contexto de dinámica polinomial no-arquimediana. Las técnicas y dificultades que aparecen son muy distintas a las que aparecen en dinámica compleja. Este es un trabajo conjunto con Hongming Nie (Stony Brook University).

Equivalencia orbital, entropía y complejidad simbólica en subshifts minimales

Paulina Cecchi — Universidad de Chile, Chile

Un sistema minimal de Cantor es un sistema dinámico minimal en que el espacio de fase en un Cantor. Un subshift minimal es un caso particular de sistema minimal de Cantor. Dos sistemas minimales de Cantor se dicen orbitalmente equivalentes si existe un homeomorfismo entre los espacios de fase que envía órbitas en órbitas, y bajo algunas condiciones suplementarias, la equivalencia orbital se dice fuerte. En 1994, M. Boyle y D. Handelman probaron que cualquier sistema minimal de Cantor es fuertemente orbitalmente equivalente a un sistema de entropía topológica cero, mostrando de esta forma que la entropía topológica no es preservada por equivalencia orbital fuerte. En el caso de un subshift minimal, la entropía topológica corresponde a la tasa de crecimiento exponencial de una función asociada al subshift, llamada función de complejidad simbólica. En vista del resultado de Boyle y Handelman, es natural preguntarse de qué forma, en el caso de los subshifts, la función de complejidad simbólica restringe (o no) la clase de equivalencia orbital fuerte. En esta charla abordaremos esta pregunta y revisaremos algunos resultados asociados. Trabajo conjunto con Sebastián Donoso.

Grupos sóficos y formalismo termodinámico

Sebastián Barbieri — Universidad de Santiago de Chile, Chile

Dado un subshift X y una función continua $f\colon$ X $\to \mathbb{R}$ podemos definir dos nociones con significado físico. La primera es la de medida de Gibbs, que captura la idea de equilibrio local con el entorno. La segunda es la noción de medida de equilibrio, que captura la idea de maximizar el desorden globalmente. Un teorema clásico de Lanford y Ruelle dice que si f es suficientemente regular y X es un subshift de tipo finito en $\mathbb{Z}^d,$ entonces las medidas de equilibrio son automáticamente medidas de Gibbs. En esta charla les hablaré sobre una generalización de éste resultado para una clase muy amplia de grupos que se denominan "sóficos". Comenzaremos con una introducción amable a esta clase de grupos y su teoría de entropía y finalizaremos con algunas ideas que juegan un rol importante en la prueba del resultado.

Endomorfismos no uniformemente hiperbólicos

Radu Saghin — Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

Voy a presentar ejemplos de endomorfismos del toro que son $C^1$ robustamente no uniformemente hiperbólicos. Además los ejemplos son establemente ergódicos, y los exponentes de Lyapunov son continuos con respecto al endomorfismo en la topología $C^1.$

Conexidad del espacio de acciones de Z^d en variedades unidimensionales

Andrés Navas — Universidad de Chile, Chile

En esta charla se discutirán dos resultados: (1) el espacio de acciones de $Z^d$ por difeomorfismos de clase $C^2$ de variedades unidimensionales es $C^{1+bv}$ conexo por caminos; (2) el espacio de acciones de $Z^d$ por difeomorfismos de clase $C^2$ del intervalo es conexo. Ambos resultados tienen consecuencias interesantes en el contexto de foliaciones de codimensión 1. Se trata de un trabajo en colaboración con Hélène Eynard-Bontemps.

Sobre sistemas saturados

Diego Sanhueza — UFRJ, Brasil

Para un sistema dinámico (X, S), estudiamos la entropía topológica del conjunto de los puntos genéricos, $G_\mu(S),$ respecto de una medida S-invariante $\mu.$ En este escenario, R. Bowen obtiene un célebre resultado el cual dice que h(S, $G_\mu(S)) \leq h_\mu(S)$ para toda medida S-invariante y la igualdad se cumple si $\mu$ es ergódica, donde h(S, $G_\mu(S))$ es la entropía topológica de $G_\mu(S).$ En este seminario, mostraremos un resultado análogo para flujos y daremos condiciones suficientes para que un sistema dinámico sea saturado (i.e., h(S, $G_\mu(S)) = h_\mu(S)$ para toda medida S-invariante $\mu).$ Este es un trabajo en conjunto con María Jose Pacífico (UFRJ).

Equidistribución de órbitas de números racionales

Godofredo Iommi — PUC, Chile

Todo número racional posee una expansión finita en fracciones continuas. Utilizando un teorema de grandes desvíos para flujos de suspensión sobre shifts en alfabetos numerables, probaré que las órbitas de los números racionales con respecto a la transformación de Gauss se equidistribuyen con respecto a la medida de Gauss. Si el tiempo permite, probaré un resultado análogo en dimensión superior para la transformación de Jacobi-Perron. Este es trabajo conjunto con Felipe Riquelme y Aníbal Velozo.

Cover times in dynamical systems

Mike Todd — University of St Andrews, Reino Unido

What is the expected number of iterates of a point needed for a plot of these iterates to approximate the attractor of the dynamical system up to a given scale delta (i.e., the orbit will have visited a delta-neighbourhood of every point in the attractor)?. This question has analogues in random walks on graphs and Markov chains and can be seen as a recurrence problem. I'll present joint work with Natalia Jurga (St Andrews) where we estimate the expectation for this problem as a function of delta for some classes of interval maps using ideas from Hitting Time Statistics, permutations and inducing.

How to construct non-hyperbolic ergodic measures with positive entropy

Katrin Gelfert — UFRJ, Brasil

We aim to understand "the amount of non-hyperbolicity" in a diffeomorphism. For that we pursue the path considering simplified, but still extremely rich, simpler systems: partially hyperbolic diffeomorphisms with one-dimensional center, skew products, step skew products with circle fibers, step skew products induced by $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ matrix cocycles. Under suitable hypotheses that there are, roughly speaking, some circle fiber maps which have some hyperbolicity (say, Morse-Smale diffeomorphisms) and some which are non-hyperbolic (say, conjugate to an irrational rotation), we construct ergodic measures with zero fiber Lyapunov exponent and positive metric entropy. In a work by Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn, and Nalski, a technique of concatenating periodic orbits was proposed to construct non-hyperbolic ergodic measurements. After Kwietniak and Łacka, this technique always results in measures with zero entropy. I will explain how to modify these techniques to produce measures with positive entropy. Very naively, the periodic orbits are replaced by horseshoes. To overcome the main difficulty of non-uniform convergence of Birkhoff means, we implement a probabilistic approach. This is a joint work with L.J.Díaz and M.Rams.

Superposición de hiperbolicidades: aspectos ergódicos y bifurcaciones

Lorenzo J. Díaz — PUC-Rio, Brasil

Una motivación inicial es presentar modelos simples de dinámicas que describen dinámicas asociadas a desdoblamientos de ciclos heterodimensionales (pero no solamente). En el caso de las tangencias homoclínicas existe una dinámica límite descrita por la familia cuadrática. En el caso de los ciclos heterodimensionales la "dinámica límite" es dada por un producto torcido (skew product) donde la base es (parte de) un shift y la dinámica fibrada funciones del intervalo (con domínios superpuestos). Una propiedad fundamental es que la dinámica fibrada presenta regiones de contracción y expansión con “superposiciones”. El caso más interesante ocurre cuando la dinámica "generada" no es hiperbólica. El caso más sencillo ocurre cuando estas funciones son cóncavas, cuando no hay concavidad poco se puede decir de las dinámicas y existen gran variedad de casos (basicamente, casi todo puede pasar). Nos concentraremos, como es de esperar, en el caso más sencillo. Estudiaremos las dinámicas asociadas a este tipo de productos torcidos con énfasis en la descripción del espacio de medidas ergódicas del sistema. Trabajo en conjunto con K. Gelfert (UFRJ, Brasil) y M. Rams (IMPAN, Polonia).

Los campos estrella en variedades de dimensión tres son multi-singular hiperbólicos

Nelda Jaque — Universidad de Chile, Chile

La coexistencia de singularidades y órbitas regulares en conjuntos transitivos por cadena ha sido un obstáculo importante para comprender la naturaleza hiperbólica de la dinámica robusta. Debido a que campos vectoriales sin singularidades con todas las órbitas periódicas fuertemente hiperbólicas (flujos estrella), son hiperbólicos, pero no lo son en general. Se dedicó mucho esfuerzo para comprender si se pueden caracterizar por alguna estructura hiperbólica más débil. De hecho, Bonatti y da Luz caracterizan un conjunto abierto y denso de campos estrellas por hiperbolicidad multi-singular. En esta charla, generalizamos el último resultado mencionado a la hipótesis mínima. Y probaremos que todos los flujos estrella tridimensionales son multi-singulares hiperbólicos. (Trabajo en conjunto a Adriana da Luz y Jennyffer Bohorquez).

Ergodic and Geometric Aspects of (Nonuniformly) Sectional Hyperbolic Systems

Luciana Salgado — UFRJ, Brasil

In 2009, the notion of nonuniformly sectional hyperbolic set was introduced, joint with A. Arbieto, as an extension to singular flows of the notion of nonuniform hyperbolicity for diffeomorphisms. We proved a $C^1$ -generic relation between nonuniformly sectional hyperbolicity and sectional hyperbolicity. In 2019, I introduced a broadest notion of (uniform) sectional hyperbolicity and sectional Lyapunov exponents, by considering sectional expansion of any dimension between 2 and the full dimension of the central bundle. Then, several characterizations of these notions were given, in particular, an ergodic characterization of domination property, by using Lyapunov functions. In this talk, I am going to talk about these notions of (nonuniformly) sectional hyperbolicity recently made, and some related results and derivated theory of it will be presented.

Relative pressure functions and their equilibrium states

Yuki Yayama — Universidad del Bío-Bío, Chile

For a subshift (X, $\sigma_X)$ and a subadditive sequence $\mathcal{F}=\{\log f_n\}_{n=1}^{\infty}$ on X, we study equivalent conditions for the existence of $h\in$ C(X) such that $\lim_{n\to \infty}(1/{n})\int \log f_n$ d $\mu=\int$ h d $\mu$ for every invariant measure $\mu$ on X. For this purpose, we first we study necessary and sufficient conditions for $\mathcal{F}$ to be an asymptotically additive sequence in terms of certain properties for periodic points. For a factor map $\pi: X\to$ Y, where (X, $\sigma_X)$ is an irreducible shift of finite type and (Y, $\sigma_Y)$ is a subshift, applying our results and the results obtained by Cuneo on asymptotically additive sequences, we study the existence of h with regard to a subadditive sequence associated to a relative pressure function. This leads to a characterization of the existence of a certain type of continuous compensation function for a factor map between subshifts. As an application, we study the projection $\pi\mu$ of an invariant weak Gibbs measure $\mu$ for a continuous function on an irreducible shift of finite type.

Irreductibilidad de curvas de polinomios cúbicos con punto crítico prefijo

Daniel Gajardo — PUC, Chile

Para cada $\ell\geq$ 1, estudiaremos la irreductibilidad de la curva algebraica de polinomios cúbicos con un punto crítico marcado prefijo, con preperiodo $\ell.$ Xavier Buff, Adam Epstein y Sarah Koch probaron (2018) que tales curvas son irreductibles, utilizando argumentos algebraicos. En este caso, demostraremos el mismo resultado adaptando las técnicas geométricas utilizadas por Matthieu Arfeux y Jan Kiwi (2020) para probar la irreductibilidad de las curvas de polinomios cúbicos con punto crítico periódico.

Atractores ASH

Kendry Vivas — PUCV, Chile

La noción de hiperbolicidad seccional asintótica fue introducida recientemente con el propósito de contar con una definición general de hiperbolicidad en la que el atractor de Lorenz contractivo sea un ejemplo representativo de estos sistemas. La propiedad ASH significa que cada punto fuera de la variedad estable de las singularidades posee tiempos hiperbólicos arbitrariamente grandes. En esta charla presentaremos algunos problemas relacionados con la expansividad, la existencia de medidas físicas y la existencia de clases homoclínicas de atractores que satisfacen este tipo de hiperbolicidad.

El grupo de flujo de los diferenciales cuadráticos enraizados

Rodolfo Gutiérrez — Universidad de Chile, Chile

Dado un diferencial cuadrático en una superficie de Riemann, decimos que está enraizado si está dotado de una elección de vector tangente unitario horizontal. El espacio de los diferenciales enraizados es una variedad que está naturalmente estratificada por el multiconjunto de los órdenes de los ceros de los diferenciales. El flujo de Teichmüller es un flujo con propiedades dinámicas interesantes que se define en esta variedad, y preserva la estratificación. En este contexto, el grupo de flujo G $\subseteq \pi_1(C)$ de una componente conexa C de un estrato de diferenciales cuadráticos enraizados es un grupo que codifica en qué medida la dinámica del flujo de Teichmüller es capaz de “detectar” la topología de C. El resultado principal de esta charla es que G = $\pi_1(C);$ la demostración está basada en métodos topológicos, combinatoriales y dinámicos. Este hecho tiene importantes consecuencias dinámicas, como que el espectro de Lyapunov del flujo de Teichmüller en C sea simple (es decir, no hay exponentes de Lyapunov repetidos). Este es un trabajo en conjunto con Mark Bell, Vincent Delecroix, Vaibhav Gadre y Saul Schleimer.

Oscillating wandering domains in p-adic transcendental dynamics

Adrián Esparza — CIMAT, México

In this talk, we present a construction of $p$-adic entire transcendental functions with oscillating wandering domains, that is, Berkovich disks with unbounded iterates that do not converge to infinity. The construction is based on the techniques of Benedetto in the polynomial case. This is a Joint work with Jan Kiwi.

Polynomial decay of correlations of geodesic flows on some nonpositively curved surfaces

Yuri Lima — Universidade Federal do Ceará, Brasil

We consider a class of nonpositively curved surfaces and show that their geodesic flows have polynomial decay of correlations. This is a joint work with Carlos Matheus and Ian Melbourne.

Renormalization and hyperbolicity in one-dimensional dynamics

Gabriela Estevez — Universidade Federal Fluminense, Brasil

In this talk we will discuss some examples in one-dimensional dynamics where the Renormalization operator is hyperbolic. We will focus on the case of circle maps with "inflexive" critical points. This is a joint work with Michael Yampolsky.

Endomorphisms on surfaces: regularity of foliations and rigidity

Marisa Cantarino — Universidade Estadual de Campinas, Brasil

We introduce with examples the uniformly hyperbolic dynamics for the non-invertible case and its main properties. We present (in collaboration with R. Varão) a result that characterizes on surfaces the smooth conjugacy between a special Anosov endomorphism and its linearization in terms of the regularity of stable and unstable foliations. This regularity is absolute continuity in a uniformly bounded formulation, which we characterize (in collaboration with R. Varão and S. Targino) using holonomies.

Cover times for dynamical systems

Natalia Jurga — University of St Andrews, Reino Unido

Given a dynamical system f:I $\to$ I we study the asymptotic expected behaviour of the cover time: the rate at which orbits become dense in the state space I. We will see how this can be studied through the lens of dynamical systems with holes and the spectral theory of the transfer operators associated to these systems. This is joint work with Mike Todd.

Rigidity of u-Gibbs measures for perturbations of conservative Anosov diffeomorphisms of the three-torus

Martin Leguil — UPJV, Francia

Let f be a $C^2$ diffeomorphism of the three-torus, with a partially hyperbolic splitting $E^s+E^c+E^u$ into three line bundles such that f is uniformly expanding along the center. In this talk we will discuss the links between u-Gibbs measures (invariant measures whose disintegrations along the strong unstable direction are absolutely continuous with respect to Lebesgue) and physical measures of f, which are of particular importance to capture the asymptotic statistical behaviour of most orbits. In a joint work with Sébastien Alvarez, Davi Obata and Bruno Santiago, we show the following dichotomy in the case where f is $C^1$ -close to a conservative Anosov diffeomorphism: either the strong bundles $E^s, E^u$ are jointly integrable, or any u-Gibbs measure of f is SRB; in particular, this shows uniqueness of u-Gibbs measures. Our proof utilizes the exponential drift argument of Benoist-Quint, and borrows some ideas from other pioneering works on measure rigidity in different contexts such as the papers of Eskin-Mirzakhani, Brown-Rodriguez Hertz, Eskin-Lindenstrauss.

Equilibrium states for a class of non-uniformly hyperbolic maps

Jaqueline Siqueira — UFRJ, Brasil

We consider a wide family of non-uniformly hyperbolic maps and hyperbolic potentials and prove that the unique equilibrium state associated to each element of the family is given by the eigenmeasure and the eigenfunction of the transfer operator (both having the spectral radius as an eigenvalue). We prove that the transfer operator has the spectral gap property in the space of Hölder continuous observables. From this we derive that the unique equilibrium state satisfies a central limit theorem and that it has exponential decay of correlations. Moreover, we prove joint continuity and analyticity with respect to the potential. (Based on various joint works with S. Afonso, J. Alves, V. Ramos).

Open sets of partially hyperbolic systems having a unique SRB measure

Davi Obata — University of Chicago, Estados Unidos

For a dynamical system, a physical measure is an ergodic invariant measure that captures the asymptotic statistical behavior of the orbits of a set with positive Lebesgue measure. A natural question in the theory is to know when such measures exist. It is expected that a "typica" system with enough hyperbolicity (such as partial hyperbolicity) should have such measures. A special type of physical measure is the so-called hyperbolic SRB (Sinai-Ruelle-Bowen) measure. Since the 70`s the study of SRB measures has been a very active topic of research. In this talk, we will see some new examples of open sets of partially hyperbolic systems with two dimensional centers having a unique SRB measure. One of the key features for these examples is a rigidity result for a special type of measure (the so-called u-Gibbs measure) which allows us to conclude the existence of the SRB measures.

Robust transitivity and domination for endomorphisms displaying critical points

Cristina Lizana Araneda — UFBA, Brasil

We show that robustly transitive endomorphisms of a closed manifold must have a non-trivial dominated splitting or be a local diffeomorphism. This allows us to get some topological obstructions for the existence of robustly transitive endomorphisms. To obtain the result we must understand the structure of the kernel of the differential and the recurrence to the critical set of the endomorphism after perturbation. This is a joint work with R. Potrie, E. Pujals and W. Ranter.

Exponentes de Lyapunov para medidas de soporte no compacto

Adriana Sánchez — CIMPA-UCR, Costa Rica

Recientemente, Bocker-Viana mostraron que los exponentes de Lyapunov para medidas de soporte compacto en GL(2,R) dependen continuamente de la medida. En un trabajo en conjunto con Marcelo Viana analizamos el caso de las medidas con soporte no compacto. En esta charla veremos que los exponentes de Lyapunov son semi-continuos superiormente con respecto a la topología de Wasserstein, pero no con respecto a la topología débil*. Aún más, mostramos que los exponentes no son continuos respecto a la topología de Wasserstein. Referencias: Carlos Bocker-Neto and Marcelo Viana. Continuity of Lyapunov exponents for random two-dimensional matrices. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 37(5): 1413-1442, 2017. Adriana Sánchez and Marcelo Viana. Lyapunov exponents of probability distributions with non-compact support. ArXiv preprint arxiv:1810.03061, 2018.

Abordando la conjetura de Markus-Yamabe y sus posibles consecuencias desde una perspectiva no autónoma y no uniforme

Ignacio Huerta Navarro — Universidad de Chile, Chile

G. Fournier y M. Matelli señalaron la existencia de una relación entre la Conjetura Jacobiana y el problema de estabilidad global de sistemas dinámicos autónomos continuos y discretos en dimensión finita, también conocido como la Conjetura de Markus-Yamabe. Muchos trabajos se han desarrollado en torno a la conjetura de Markus-Yamabe, mayormente en el mundo autónomo. Para dar el paso al mundo no autónomo, debemos fijarnos en el tipo de hiperbolicidad, teoría espectral asociada y el tipo de estabilidad que nos permita plantear apropiadamente una versión de esta conjetura, distinguiendo herramientas que sean adecuadas para el contexto no autónomo. Cabe destacar que en este trabajo, nos concentramos en una hiperbolicidad y estabilidad de tipo no uniforme. Referencia: Álvaro Castañeda, Ignacio Huerta, Gonzalo Robledo, A Nonuniform Nonautonomous Approach to Jacobian conjecture, https://arxiv.org/abs/2108.06416

El nivel cero de los exponentes de Lyapunov de sistemas parcialmente hiperbólicos

Lorenzo J. Díaz — PUC-Rio, Brasil

Consideraremos sistemas dinámicos parcialmente hiperbólicos con dirección central unidimensional. El foco son sistemas con medidas ergódica no-hiperbólicas (con exponente de Lyapunov asociado a la dirección central nulo) con entropía positiva. Discutiremos la entropía del conjunto de puntos cuyo exponente de Lyapunov central es cero. Para eso introduciremos principios variacionales restrictos y estudiaremos la estructura de las medidas ergódicas de estos sistemas, especialmente la aproximación de medidas no-hiperbólicas por medidas hiperbólicas.

Cinemática

Pablo Barrientos — UFF, Brasil

Cuando lo que interesa no es la dinámica sino el movimiento.

Continuity of Lyapunov exponents for locally constant cocycles

Karina Marin — UFMG, Brasil

In this talk, we will discuss the continuity of the Lyapunov exponents in the Hölder topology for locally constant $SL(2,\mathbb{R})-valued$ cocycles over a Bernoulli shift. In particular, we prove that the discontinuity example of Bocker-Viana is not typical among cocycles that have upper Lyapunov exponent small enough. This is a joint work with Catalina Freijo (ULisboa).

Sobre algunos elementos del grupo de automorfismos de árboles, desde una perspectiva dinámica

María Isabel Cortez — PUC, Chile

En esta charla abordaremos algunos resultados respecto a una clase especial de automorfismos ("settled elements") de p-árboles, con p>1 primo. Estos automorfismos pueden ser caracterizados, desde un punto de vista dinámico, como aquellos tales que casi todas sus componentes minimales (vistos como homeomorfismos sobre el conjunto infinito de caminos) son abiertas-cerradas. Este trabajo tiene su motivación en la conjetura de Boston y Jones sobre representación arbórea de polinomios. Trabajo en conjunto con Olga Lukina (University of Vienna).

Equivalencia orbital fuerte y complejidad factorial en subshifts

Paulina Cecchi — DIM-FCFM, Chile

Linear response formula for the topological entropy at the time one map of a geodesic flow on a manifold of negative curvature

Carlos Vásquez — PUCV, Chile

Notas sobre expansividad positiva para semiflujos continuos

Nelda Jaque — Universidad de Chile, Chile

Conjuntos asintóticamente seccional-hiperbólicos

Kendry Vivas Ferrer — Universidad Católica del Norte, Chile

Boundedness of hyperbolic components in moduli space

Hongming Nie — Hebrew University of Jerusalem / PUC, Israel / Chile

Automorphisms and extended symmetries of number-theoretic positive entropy subshifts

Álvaro Bustos — Universidad de Chile, Chile

Heterodimensionality of skew-products with concave fiber maps

Katrin Gelfert — UFRJ, Brasil

Variational principles and equilibrium states for (semi)group actions

Paulo Varandas — UFBA, Brasil

Phase transitions in Statistical Mechanics, Countable Markov Shifts, and Operator Algebras

Rodrigo Bissacot — USP, Brasil

Acerca de la derivada de una conjugación entre dos transformaciones de tipo Gauss

Erik Contreras — PUC, Chile

El programa de Blanchard y el mundo Lexicográfico

Rafael Alcaraz Barrera — UASLP, México

Elementos de distorsión en el grupo de difeomorfismos de la esfera

Jonathan Conejeros — USACH, Chile

Modelos topológicos de sistemas loosely Bernoulli con entropía cero

Felipe García-Ramos — UASLP, México

Dimension theory for continued fractions

Godofredo Iommi — PUC, Chile

Derivadas de valores propios y exponentes de Lyapunov

Radu Saghin — PUCV, Chile

Intermediate entropy property: old and new

Felipe Riquelme — PUCV, Chile

Dinámica del flujo horocíclico foliado

Matilde Martínez — Universidad de la República, Uruguay

Una generalización natural de las superficies hiperbólicas es una foliación por superficies hiperbólicas. En estas, como en las superficies, se puede estudiar la dinámica de los flujos geodésico y horocíclico. Estos flujos tienen íntima relación con otros objetos importantes en la descripción de la dinámica de foliaciones, como las llamadas medidas armónicas. En la charla voy a hacer una introducción al tema, y contar qué sabemos de la dinámica topológica de estos flujos. Para terminar, voy a contar un resultado reciente sobre ergodicidad única.

Hacia una clasificación topológica de parcialmente hiperbólicos en dimensión 3

Rafael Potrie — Universidad de la República, Uruguay

Intentaré discutir algunas preguntas acerca de cuál debería ser la noción de clasificación de parcialmente hiperbólicos en dimensión 3, qué cosas sabemos y para qué nos pueden servir.

Irreducibility in holomorphic dynamics

Xavier Buff — Université Paul Sabatier, Francia

We show that within the moduli space of cubic polynomials, and within the moduli space of quadratic rational maps, for each integer $k\geq$ 1, the set of conjugacy classes of maps with a prefixed critical point of preperiod k, is an algebraic curve that is irreducible (over $\mathbb{C}).$ Our proof is purely arithmetic.

Classification of hyperbolic rational maps with finitely connected Fatou sets

Yusheng Luo — Stony Brook University, Estados Unidos

In this talk, I will talk about the classification problem for hyperbolic rational map with finitely connected Fatou sets. A rational map is said to have finitely connected Fatou sets if any Fatou component is finitely connected. We show a hyperbolic component of such maps can be described by a finite combinatorial model which we call hyperbolic post-critically finite tree mapping schemes. We also show every such combinatorial model is realizable by some hyperbolic rational maps. This generalizes hyperbolic post-critically finite rational maps when the Julia set is connected, and is interpreted as center' at infinity for such hyperbolic components. We will give many examples of such constructions, and illustrate the connections to Kleinian group and Berkovich dynamics.

Paseos aleatorios como sistemas dinámicos

Pablo Carrasco — UFMG, Brasil

En esta charla (muy) introductoria pretendo explicar un problema clásico de probabilidad, los paseos aleatorios, desde el punto de vista de un dinamicista. Veremos como los sistemas dinámicos aleatorios pueden entenderse como paseos aleatorios y discutiremos aplicaciones de teoría ergódica para ellos. La charla está pensada para estudiantes (de dinámica!), y no requiere conocimiento previos de la teoría de paseos al azar.

Continuous functions and measures in polynomial Julia sets

Alfredo Poirier — Pontificia Universidad Católica del Perú, Perú

We give a dynamical decomposition of continuous functions defined in polynomial filled Julia sets (this works at least in the case where it agrees with the Julia set). As a consequence, we work a similar decomposition for measures.

Estabilización de una clase de ciclos heterodimensionales

Sebastián Pérez — Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

Un difeomorfismo f tiene un ciclo (heterodimensional) si existen conjuntos hiperbólicos (transitivos) de índices diferentes (dimensión del fibrado inestable) cuyas variedades invariantes se intersectan cíclicamente. El ciclo de f es $C^r$ -robusto si toda pequeña $C^r$ -perturbación de f tiene un ciclo asociado a las continuaciones de estos conjuntos hiperbólicos. Si el ciclo de f es definido por un par de sillas hiperbólicas decimos que este ciclo puede ser $C^r$ -estabilizado si toda $C^r$ -vecindad de f contiene difeomorfismos con un ciclo $C^r$ -robusto asociado a conjuntos hiperbólicos que contienen las continuaciones de las sillas iniciales. En esta charla discutimos la $C^r$ -estabilización de una clase de ciclos en dimensión 3 que envuelven intersecciones tangenciales entre sus variedades invariantes. Esta charla es basada en un trabajo en colaboración con Lorenzo J. Díaz (PUC-Rio).

Invitation to the flexibility program

Kamlesh Parwani — Eastern Illinois University, Estados Unidos

We discuss major results in this program and present several open problems.

Separatrices of real analytic vector fields in dimensions two and three

Rogério Mol — Universidade Federal de Minas Gerais, Brasil

Let X be a germ of real analytic vector field at $(\mathbb{R}^{n},0),$ n $\geq$ 2. A separatriz is a real formal curve invariant by X. In any dimension, there are examples of vector fields without separatrices. This is the case, for instance, of center-focus type vector fields at $(\mathbb{R}^{2},0).$ In this lecture, we will present, for vector fields with isolated singularity in dimensions n = 2 and 3, sufficient conditions for the existence of separatrices. In dimension two, in the family of topological real generalized curves --- i.e. vector fields without topological saddle-nodes in their desingularizations --- a vector field X has a separatrix provided that either its algebraic multiplicity $\nu_{0}(X)$ or its Milnor number $\mu_{0}(X)$ is even. This generalizes a result by J.-J. Risler (2001). In dimension three, we prove that a vector field that is tangent to the levels of a non-constant germ of real analytic function -- i.e. X has a real analytic first integral --- admits a separatrix. In both cases, the proof relies on techniques of desingularization and indices of vector fields. We also give examples showing that the results are optimal, in the sense that we cannot assure the existence of analytic separatrices. The part in dimension two is a joint work with my Ph.D. student E. Cabrera. The part in dimension three is a joint work with F. Sanz (Universidad de Valladolid - Spain).

Hénon mappings with biholomorphic escaping sets

Sylvain Bonnot — University of São Paulo, Brasil

For any complex Hénon map, the universal cover of the forward escaping set $U^{+}$ is biholomorphic to $\mathbb{D} \times \mathbb{C},$ where $\mathbb{D}$ is the unit disc. The vertical foliation by copies of $\mathbb{C}$ descends to the escaping set itself and makes it a rather rigid object. In this talk we give evidence of this rigidity by showing that the analytic structure of the escaping set essentially characterizes the Hénon map, up to some ambiguity which increases with the degree of the map (joint work with R. Radu and R. Tanase from University of Toronto).

Estados de Gibbs geométricos con decaimiento lento de correlaciones

Daniel Coronel — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En esta charla estudiaremos las transiciones de fase para la función presión geométrica para parámetros Collet-Echmann en la familia cuádratica. En particular, nos enfocaremos en las propiedades estadísticas de los estados de equilibrio en la transición de fase. Es conocido que antes de la transición de fase los estados de equilibrio para el potencial geométrico tienen decaimiento exponencial de correlaciones. También se sabe que en la transición de fase hay a lo más un estado de equilibrio y después de la transición de fase no hay estados de equilibrio. Mostraremos que en los casos donde existe un estado de equilibrio en la transición de fase es posible realizar distintos tipos de decaimiento subexponencial de correlaciones.

Measure rigidity for some group action

Régis Varão — Universidade Estadual de Campinas, Brasil

Assume a group G acts on a space in such a way that its action preserves some metric defined on each leaf (orbit of the action). We are able to fully describe the ergodic measure of these actions in terms of the disintegration on the leaves. In fact we obtain a dichotomy, either the disintegration is regular (means to be a full Hausdorff measure) or the disintegration is "pathological" (some atomic disintegration). Reference: G. Ponce, R. Varão, Measure rigidity for leafwise weakly rigid actions, arXiv:1812.00057, 2019.

Distorsión asintótica de difeomorfismos unidimensionales

Andrés Navas — Universidad de Santiago de Chile, Chile

Definimos la distorsión asintótica de un difeomorfismo como la estabilización de la variación de la derivada. Discutiremos 3 resultados: (1) Para difeomorfismos de clase $C^2$ del círculo con número de rotación irracional, este número es nulo. (2) Para difeomorfismos del intervalo sin puntos fijos hiperbólicos, este número es nulo si y solo si el invariante de Mather asociado es trivial. (3) La nulidad del invariante de Mather es quivalente a la posibilidad de conjugar el difeomorfismo en aplicaciones que aproximan isometrías. Si el tiempo lo permite, mostraremos una aplicación de estas ideas al problema de la conexidad por arcos del espacio de difeomorfismos que conmutan.

Dinámica compleja y el modelo de exclusión en el árbol de Cayley

Juan Rivera-Letelier — University of Rochester, Estados Unidos

Una descripción del modelo de exclusión en un árbol regular infinito, y sus conexiones con la dinámica compleja y los conjuntos de independencia. La charla se centrará en el comportamiento de la función presión en la transición de fase. Este es un trabajo en colaboración con Martin Sombra.

The avalanche principle and negative curvature

Eduardo Oregón — University of California, Estados Unidos

In 2001, M. Goldstein and W. Schlag introduced the Avalanche Principle, a quantitative sufficient condition for the operator norm $\|A_N\cdots A_1\|$ of a product of matrices in $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}),$ to being similar to the product $\|A_N\|\cdots \|A_1\|.$ Since then several refinements and generalizations have appeared in the literature. In this talk I will present a reformulation of this principle in terms of the geometry of the hyperbolic plane, and show how to extend it to metric spaces of negative curvature.

Equidistribution of closed geodesics on negatively curved manifolds

Aníbal Velozo — Yale University, Estados Unidos

In this talk I will explain how to obtain equidistribution results for closed geodesics on non-compact negatively curved manifolds based on large deviation estimates. It turns out that the main obstacle to obtain equidistribution is the escape of mass, and that this can be handled by previous works related to the entropy at infinity of the geodesic flow. If time permits analogies with countable Markov shifts will be discussed.

Convergencia Parabólica y familias de dominios de Baker

Adrián Esparza — CIMAT, México

Es bien sabido que los dominios parabólicos y los dominios de Baker son inestables dinámicamente. En esta charla trataremos un caso particular de convergencia tanto para dominios parabólicos como para dominios de Baker. En especial, construimos una sucesión de funciones parabólicas (las cuales pueden ser racionales) que convergen (dinámicamente) a una función meromorfa con familias de dominios de Baker.

Ciclos límite medios en sistemas polinomiales de Liénard perturbados

Salomón Rebollo — Universidad del Bío-Bío, Chile

Consideramos sistemas polinomiales de Liénard generalizados que provienen de perturbaciones polinomiales de segundo orden del centro lineal. Para estos sistemas, encontramos un subconjunto genérico (abierto y denso) en el espacio de perturbaciones de grado 2l, con l $\geq$ 1, de tal manera que cada sistema Liénard generalizado perturbado asociado tiene como máximo 2l-1 ciclos límite medios.

Assouad dimension of planar self-affine sets

Antti Käenmäki — University of Eastern Finland, Finlandia

We consider planar self-affine sets X satisfying the strong separation condition and the projection condition. We show that any two points of X, which are generic with respect to a self-affine measure having simple Lyapunov spectrum, share the same collection of tangent sets. We also calculate the Assouad dimension of X and show that it is minimal for the conformal Assouad dimension. The talk is based on joint work with Balázs Bárány and Eino Rossi.

Counting problem on infinite periodic billiards and translation surfaces

Ángel Pardo — Universidad de Chile, Chile

The Gauss circle problem consists in counting the number of integer points of bounded length in the plane. This problem is equivalent to counting the number of closed geodesics of bounded length on a flat two dimensional torus or, periodic trajectories, in a square billiard table. Many counting problems in dynamical systems have been inspired by this problem. For 30 years, the experts try to understand the asymptotic behavior of closed geodesics in translation surfaces and periodic trajectories on rational billiards. (Polygonal billiards yield translation surfaces naturally through an unfolding procedure.) H. Masur proved that this number has quadratic growth rate. In these talk, we will study the counting problem on infinite periodic rational billiards and translation surfaces. The first example and motivation is the wind-tree model, a $\mathbb{Z}^2$ -periodic billiard model. In the classical setting, we place identical rectangular obstacles in the plane at each integer point; we play billiard on the complement. I will first present some quite precise results that are only valid for the wind-tree model (and some natural generalizations) and then, a general result which is valid for a.e. infinite periodic translation surfaces that uses completely different techniques: a dynamical analogous, for the algebraic hull of a cocycle, to strong and super-strong approximation on algebraic groups.

Self-affine sets and multifractal analysis

Thomas Jordan — University of Bristol, Reino Unido

There is an old result of Besicovitch which gives the Hausdorff dimension of subsets of the interval described by frequencies of 0s in the binary expansion. This can be thought of as one of the first multifractal results. We will describe this result and show how it can be put in the context of self-similar sets. We'll then introduce some theory of self-affine sets and describe a generalisation to self-affine sets. The work which is new is joint with Balazs Barany, Antti Kaenmaki and Michal Rams.

Anillos de Herman: reseña y resultados recientes en la dinámica compleja

Mónica Moreno Rocha — CIMAT, México

Consideremos el sistema dinámico definido por la iteración de una función racional sobre la esfera de Riemann. Las componentes conexas máximas donde los iterados forman una familia normal son conocidas como componentes de Fatou. Las componentes periódicas se clasifican en cinco tipos: cuencas súperatractoras, atractoras y parabólicas, discos de Siegel y anillos de Herman. A diferencia de las otras componentes, los anillos de Herman no están asociados a órbitas periódicas, por lo que es un problema difícil determinar cuándo una función racional exhibe un ciclo de anillos de Herman. En esta charla revisaremos algunos de los resultados iniciales por Micheal Herman y Mitsuhiro Shishikura que dieron lugar a los primeros ejemplos de anillos de Herman en la dinámica racional, luego discutiremos algunas de las extensiones de estos resultados para funciones transcendentes enteras y meromorfas. Concluiremos con algunos problemas abiertos y el progreso obtenido sobre anillos de Herman en el ámbito de funciones elípticas y la dinámica no-arquimediana.

Renormalization of multicritical circle maps

Gabriela Estevez — Universidade de São Paulo, Brasil

We study $C^3$ orientation preserving circle homeomorphisms with irrational rotation number and non-flat critical points. By Yoccoz, two of these maps with same irrational rotation are topologically conjugate. In this talk, we define the Renormalization operator of this kind of maps and assuming some properties of this operator we prove that the conjugacy is a $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism. This result is valid for a total Lebesgue measure set of irrational rotation numbers. This is a joint work with Pablo Guarino (Universidade Federal Fluminense, Brazil).

Continuity of Lyapunov exponents

Lucas Backes — Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Brasil

We will give an overview of some recent results about continuity of Lyapunov exponents for linear cocycles and present some interesting problems related to this theory.

Constructing pseudo-Anosov homeomorphisms

John H. Hubbard — Cornell University, Estados Unidos

Let S be a compact surface, and f:S $\to$ S a pseudo-Anosov homeomorphism. I will explain a way of decomposing S into rectangles, whose sizes are entries of an eigenvector for a certain Perron matrix. Conversely, the data is encoded in an Ordered block Permutation (OBP). I will explain what these are, and give necessary and sufficient conditions for an OBP to define a pseudo-Anosov homeomorphism. The conditions are completely combinatorial and easy to implement on the computer; new have found the 6000 `first" pseudo-Anosov homeomorphisms. This is a joint work with Rafiqi and Schang.

Estados de equilibrio para una clase de skew-products

Sebastián Pérez-Opazo — Universidad de Porto, Portugal

En esta charla exhibimos estados de equilibrios únicos para una cierta clase (grande) de skew-products y potenciales continuos envolviendo condiciones Holder. Estos resultados se aplican en particular, para los ejemplos clásicos no hiperbólicos de Abraham-Smale y Shub. Si el tiempo alcanza discutiremos la estabilidad estadística de estos estados. Este es un trabajo en colaboración con Maria Carvalho.

Measures of maximal entropy for diffeomorphisms close to geodesic flow

Ali Tahzibi — Universidade de São Paulo, São Carlos, Brasil

In a joint work with J. Buzzi and T. Fisher we study the construction of Margulis-Bowen measures for diffeomorphisms close to geodesic flow of surfaces with negative curvature. We prove a dichotomy on the measures of maximal entropy in terms of their center Lyapunov exponent.

Accesibilidad en parcialmente hiperbólicos isotópicos a Anosov con central bidimensional

Martín Sambarino — Universidad de la República, Uruguay

Mostraremos que $C^r$ genericamente los difeomorfismos parcialmente hiperbolicos que son isotópicos a un Anosov irreducible (a través de una isotopía de parciamente hiperbólicos con central bidimensional) son accesibles. Este es un trabajo con Luis P. Piñeyrúa.

Equicontinuidad en dendritas

Javier Camargo — Universidad Industrial de Santander, Colombia

Un continuo es un espacio métrico compacto conexo y diferente de vacío. Dado un continuo X, la familia $2^X$ de todos los cerrados no vacíos de X, dotada con la métrica de Hausdorff, es un continuo. Consideremos una función continua $f\colon X\to$ X definida en un continuo X. Naturalmente podemos definir la función $\omega_f\colon X\to 2^X$ por $\omega_f(x)=\omega(x,f),para$ cada $x\in$ X. Bruckner y Ceder mostraron que en el caso particular que X=[0,1], son equivalentes: equicontinudad de f, continuidad de $\omega_f,$ conexidad de $Fix(f^2)$ y, para cada $x\in$ X, $\omega(x,f)=\Omega(x,f).$ Una dendrita es un continuo localmente conexo que no contiene una curva cerrada simple. Es claro que [0,1] es una dendrita. Una pregunta natural es: ¿para qué espacios podemos reemplazar el intervalo cerrado [0,1], y se sigan cumpliendo las relaciones descritas en el resultado de Bruckner y Ceder? En esta charla estudiaremos algunos aspectos relacionados con esta pregunta cuando el espacio es una dendrita.

Random products of matrices and the joint spectrum

Çağrı Sert — ETH Zürich, Suiza

We will start by surveying classical results of Furstenberg, Kesten, Guivarc'h, Le Page, Bougerol, Benoist-Quint and others, on random products of matrices such as the non-commutative law of large numbers, properties of Lyapunov exponents, central limit theorem, large deviations etc. In a second part, we will make connections with the recently introduced object called the joint spectrum. (In part, joint with Emmanuel Breuillard).

Phase transitions and limit laws

Mike Todd — University of St Andrews, Reino Unido

The `statistics' of a dynamical system is the collection of statistical limit laws it satisfies. This starts with Birkhoff's Ergodic Theorem, which is about averages of some observable along orbits: this is a pointwise result, for typical points for a given invariant measure. Then we can look for forms of Central Limit Theorem, Large Deviations and so on: these are about how averages fluctuate, globally, with respect to the invariant measure. In this talk I'll show how the form of the `pressure function' for a dynamical system determines its statistical limit laws. This is particularly interesting when the system has slow mixing properties, or, even more extreme, in the null recurrent case (where the relevant invariant measure is infinite). I'll start by introducing these ideas for simple interval maps with nice Gibbs measures and then indicate how this generalises. This is joint work with Henk Bruin and Dalia Terhesiu.

Cociclos sobre dinámicas hiperbólicas, exponentes de Lyapunov y aplicaciones

Alejandro Kocsard — Universidade Federal Fluminense, Brasil

Las órbitas periódicas de los sistemas uniformemente hiperbólicos concentran gran parte de la información dinámica de los mismos. De esta forma, muchas veces es posible estudiar diversas propiedades de cociclos sobre estos sistemas (e.g. exponentes de Lyapunov) observando tan solo lo que sucede sobre las órbitas periódicas.

The space of invariant probability measures of a countable Markov shift

Anibal Velozo — Princeton University, Estados Unidos

K. Sigmund proved that the space of invariant probability measures of a subshift of finite type (endowed with the weak-* topology) is affine homeomorphic to the Poulsen simplex. In this talk I will describe the space of invariant probability measures in the non-compact case, as well as some applications. This is joint work with G. Iommi.

Caracterización de hiperbolicidad uniforme para cociclos fiber-bunched

Renato Velozo — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Durante esta charla probaré una caracterización de hiperbolicidad uniforme para cociclos fiber-bunched. Más específicamente, probaré que la existencia de un gap uniforme entre los exponentes de Lyapunov de un cociclo fiber-bunched a valores en $SL(2,\mathbb{R})$ definido sobre un subshift de tipo finito o un difeomorfismo Anosov implica hiperbolicidad uniforme. Además, presentare la construcción de un cociclo Hölder continuo el cual tiene gap uniforme entre sus exponentes de Lyapunov pero no es uniformemente hiperbólico

Sistemas dinámicos con comportamiento histórico

Martin Andersson — Universidade Federal Fluminense, Brasil

En esta charla presentamos algunos ejemplos de familias de sistemas dinámicos cuyas promedios de Birkhoff son divergentes para conjuntos grandes de puntos iniciales, lo que llamamos de comportamiento histórico. Probaremos un teorema obtenido en colaboración con Flávio Abdenur que dice que homeomorfismos locales $C^0$ genéricos de grado mayor que uno en el círculo tienen comportamiento histórico.

Exceptional sets for nonuniformly hyperbolic maps

Katrin Gelfert — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

The study of so-called exceptional sets goes back to the work of Jarnik-Besicovitch who showed that the Hausdorff dimension of the set of badly approximable numbers on the real line is 1. Seen in a more general context, given a continuous map of a compact metric space and some subset A, an A-exceptional set is defined to be the set of points whose orbit does not accumulate at A. We study the "size" of such sets in terms of their Hausdorff dimension and topological entropy. Here we consider a quite general context of $C^{1+\varepsilon}$ maps with sufficient hyperbolicity. If the Hausdorff dimension of A is smaller than the dynamical dimension of the system then the Hausdorff dimension and the topological entropy of the A-exceptional set both are large. This is joint work with S. Campos.

Medidas ergódicas no-hiperbólicas

Lorenzo Díaz — PUC-Rio, Brasil

Discutiremos y presentaremos algunos métodos para construir las medidas en el título en diversos contextos no-hiperbólicos: productos torcidos, clases homoclínicas, difeomorfismos robustamente transitivos.

The Gauss measure for continued fractions: some geometric, symbolic and arithmetic interpretations

Pierre Arnoux — Institut de Mathématique de Luminy, Francia

In a 1812 letter to Legendre, Gauss explains that a "very simple computation" shows that the images of the Lebesgue measure by the continued fraction map converges to the measure 1/log(2) dx/(1+x). Nobody knows how he did it. We are proposing a heuristic method which allows to recover this result as the fixed point of an application, and gives also explicit results for other exotic continued fractions. On the way, we will show various interpretations of this problem, which allow various generalizations.

Entropía Topológica y Medible para Sistemas Dinámicos Multivaluados

Dante Carrasco — U. del Bío-Bío, Chile

Presentaremos una noción de entropia topológica para sistemas dinámicos multivaluados. Se usará la misma idea de conjuntos generadores y separadores para definir tal entropía con respecto a una semi-métrica inducida. Sin embargo, se mostrarán que cada una de esta entropía topológica conserva algunas de las propiedades básicas que se conocen como en el caso clásico. Además, discutiremos sobre una cota inferior de la entropía métrica en relación a la tasa de la expansión logarítmica de una aplicación multivaluada y a la dimensión inferior en medida. Este trabajo es en conjunto con C. Morales y R. Metzger.

Una aproximación geométrica a la ecuación cohomológica

Mario Ponce — Facultad de Matemática, PUC Chile, Chile

Estudiaremos la posibilidad de resolver la ecuación cohomológica, que aparece como la ecuación lineal asociada a muchos fenómenos dinámicos. Exploraremos una aproximación geométrica al problema, la que resuelve la ecuación como consecuencia de soluciones conocidas para problemas similares en espacios más simples.

Vida y trabajo de un genio singular

Joel Saavedra — Instituto de Física, PUCV, Chile

El 14 de Marzo, murió el científico británico Stephen Hawking, famoso por su trabajo teórico en los agujeros negros y la relatividad general. Hay pocas personas que no conocen su nombre por su divulgación científica que despierta la imaginación, y pocos físicos teóricos de energías altas que no buscaron la inspiración en sus ideas grandes. En esta charla presentaremos las ideas más desafiantes de su trabajo. Una de ellas trata unificar, a través de los agujeros negros, las dos piedras bases de la física moderna: la gravedad y los fenómenos a gran escala, con la teoría cuántica, que abarca las partículas subatómicas. También, su investigación fue fundamental para entender cómo el Big Bang podría haber sido el comienzo del universo. Les invitamos compartir con nosotros una mirada a la vida y trabajo de Stephen Hawking.

Entropía en la clase de isotopía de mapas hiperbólicos

Pablo Carrasco — Universidade Federal de Minas Gerais, Brasil

Una pregunta natural es la siguiente: dada una clase de isotopía [f], cuál es el representante más "simple" de la clase? El objetivo de esta charla es discutir el caso cuando f es Anosov, y trabajamos dentro del mundo de los sistemas parcialmente hiperbólicos. Este es un trabajo conjunto con C. Lizana, E. Pujals y C. Vásquez

Avances en matrices de tipo M y sus inversas

Jaime San Martín — CMM, U. de Chile, Chile

En esta charla mostraremos los avances obtenidos en el problema de las inversas de matrices tipo M. Veremos como este problema se relaciona con las cadenas de Markov y estudiaremos mas de cerca una clase de matrices llamadas ultramétricas. También veremos como el álgebra de Wang permite estudiar estas matrices en el caso simétrico. Este es un trabajo en colaboracion con Daniel Stefankovic.

Minicurso: El Principio de Invariancia

Jiagang Yang — Universidade Federal Fluminense, Brasil

Polinomio de independencia, función de partición y dinámica compleja

Juan Rivera-Letelier — University of Rochester, Estados Unidos

El polinomio de independencia es uno de los polinomios de grafos más estudiados en ciencias de la computación. En mecánica estadística, este polinomio se interpreta como la función partición del modelo de gas en el grafo. Recientemente Peters y Regts resolvieron una conjetura de Sokal sobre la ausencia de ceros complejos cercanos a un cierto intervalo real, interpretando los ceros en términos de dinámica compleja. Despues de introducir el polinomio de independencia y explicar su interpretación en mecánica estadística, la charla se centrará en exhibir un contraejemplo a la conjetura de Peters y Regts sobre la región libre de ceros. Este es un trabajo en colaboracion con Daniel Stefankovic.

Transitivity and entropy of the continuum hyperspace

Alexander Arbieto — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

The continuum hyperspace of a compact metric space is the space of its non-empty connected and compact subsets. Any dynamics in the base space induces a dynamics in the continuum hyperspace. In this talk, we study the entropy and transitivity properties of this dynamics. Joint work with Jennyffer Smith.

Formalismo termodinámico para la transformación de Jacobi-Perron

Godofredo Iommi — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En esta charla discutiremos cómo el formalismo casi aditivo en espacios no compactos, desarrollado en conjunto con Y.Yayama, permite estudiar propiedades diofantinas de aproximaciones simultáneas.

Estabilidad estadística en dinámica parcialmente hiperbólica

Martin Andersson — Universidade Federal de Fluminense, Brasil

En esta charla presentamos el concepto de estabilidad estadística y examinamos pruebas de este fenómeno en dos tipos de sistemas parcialmente hiperbólicos, los "predominantemente contractores" y los "predominantemente expansores". Explicamos porque el segundo tipo es mucho más difícil y daremos las nuevas herramientas que utilizamos para probar estabilidad estadística en este caso.

Espectro de dicotomía y casi conjugación topológica

Alvaro Castañeda — Facultad de Ciencias, U. de Chile, Chile

Construimos una biyección entre las soluciones de un sistema de diferencias lineal no autónomo que es uniformemente asintóticamente estable y su perturbación no acotada. La idea clave utilizada para hacer esta biyección es considerar los tiempos de cruce de las soluciones con la esfera unitaria. Este enfoque nos permite introducir el concepto de casi conjugación topológica en este marco no autónomo. Esta tarea se lleva a cabo simplificando ambos sistemas a través de una aproximación espectral de la noción de casi reducibilidad combinada con hipótesis adecuadas.

Clasificación de los grupos de Rauzy-Veech

Rodolfo Gutiérrez — U. Paris-Diderot, Francia

El algoritmo de renormalización de Rauzy-Veech es un poderoso método para el estudio de la dinámica de las transformaciones de intercambios de intervalo y de los flujos de traslación. En efecto, se puede interpretar como una discretización del cociclo Kontsevich--Zorich, que es la parte no trivial de la derivada del flujo de Teichmüller. La acción en homología de este algoritmo es un subgrupo de Sp(2g, Z) y se conoce como un grupo de Rauzy--Veech. En 1999, Zorich conjeturó que estos grupos son densos en Sp(2g, R) para la topología de Zariski. Las consecuencias dinámicas de esta conjetura son múltiples: en particular, generaliza la demostración de Avila-Viana de la conjetura de Kontsevich--Zorich, la que postula la simplicidad del espectro de Lyapunov de casi toda transformación de intercambio de intervalos o flujo de traslación. El trabajo pionero de Avila-Matheus-Yoccoz estableció esta conjetura para el caso hiperelíptico. Expandiendo sus técnicas, es posible encontrar una clasificación completa de los grupos de Rauzy-Veech, demostrando, en particular, la conjetura de Zorich. Por ejemplo, para los estratos conexos de superficies de género $g\geq$ 3 estos grupos resultan ser Sp(2g, Z).

La conjetura de Hanna Neumann

Yago Antolín — Universidad Autónoma de Madrid, España

La conjetura de Hanna Neumann tiene su origen en los años 50 y recientemente, en 2011, fue resuelta por Igor Mineyev y por Joel Friedman de manera independiente. Una tercera solución, de Andrei Jaikin-Zapirian apareció algo más tarde. La conjetura pregunta cual es el rango máximo de la intersección de dos subgrupos de un grupo libre. En esta charla veremos que calcular el rango de una intersección de subgrupos de un grupo libre es algo elemental y explicaré que herramientas extra son necesarias para lograr probar la conjetura.

Wandering intervals in affine extensions of self-similar interval exchange maps: the cubic Arnoux–Yoccoz map

Alejandro Maass — DIM, U. de Chile, Chile

In this talk, we discuss sufficient conditions on a self-similar interval exchange map, whose renormalization matrix has complex eigenvalues of modulus greater than one, for the existence of affine interval exchange maps with wandering intervals that are semi-conjugate with it. These conditions are based on the algebraic properties of the complex eigenvalues and the complex fractals built from the natural substitution emerging from self-similarity. We show that the cubic Arnoux?Yoccoz interval exchange map satisfies these conditions.

Foliaciones Hölder genéricas

Enzo Fuentes — PUCV, Chile

En esta charla, veremos el ejemplo de un espacio de foliaciones de $M=[0,1]^2$ (con una cierta topología) que genéricamente no son absolutamente continuas, es más, las medidas condicionales definidas por la desintegración de Rokhlin son medidas de Dirac. Este tipo de foliaciones son motivadas por las que aparecen en sistemas hiperbólicos y parcialmente hiperbólicos, en donde sabemos que si el difeomorfismo es de clase $C^{1+\alpha},$ las foliaciones estable e inestable son absolutamente continuas, pero este resultado indicaría que si consideramos un difeomorfismo donde las foliaciones no tienen regularidad adicional, genéricamente las foliaciones no son absolutamente continuas, como por ejemplo, existen conjuntos abiertos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos de clase $C^r,$ con r>1 en donde su foliación central no es absolutamente continua, y también hay ejemplos de difeomorfismos de Anosov de clase $C^1$ en donde las foliaciones estable e intestable no son absolutamente continuas, por lo que podemos esperar que en estos 2 casos genéricamente las foliaciones son patológicas.

Quantum ergodicity and limit multiplicities

Tuomas Sahlsten — University of Bristol, Reino Unido

We will give an introduction to the topic of "quantum ergodicity" and review the history and current challenges of the problem. The quantum ergodicity theorem states that on Riemannian surfaces with an ergodic geodesic flow, most eigenfunctions of the Laplacian equidistribute spatially in the large eigenvalue limit. In this talk, we will present an alternative equidistribution theorem for eigenfunctions where the eigenvalues stay bounded and we take instead sequences of compact hyperbolic surfaces that become large in, say, volume. Thus the result combines quantum ergodicity with the theory of limit multiplicities in spectral theory (after DeGeorge and Wallach). The approach is motivated by the recent works of Anantharaman, Brooks, Le Masson, and Lindenstrauss on eigenvectors of the discrete Laplacian on regular graphs, and the holomorphic form analogues by Nelson, Pitale and Saha. In the dynamics side of the proof we require the exponential mixing structure of the geodesic flow on hyperbolic surfaces, in particular a quantitative mean ergodic theorem by Nevo. This is a joint work with Etienne Le Masson (Bristol).

Rotation number of interval contracted rotations

Arnaldo Nogueira — Institut de Mathématiques de Marseille, Francia

Let 0<a<1, $0\le$ b<1 and I=[0,1). We call contracted rotation the interval map $\phi_{a,b} :x\in$ I $\mapsto$ ax+b\, mod \,1. Once a is fixed, we are interested in the dynamics of the one-parameter family $\phi_{a,b},$ where b runs on the unit interval [0,1). Any contracted rotation has a rotation number $\rho_{a,b}$ which describes the dynamical behavior of $\phi_{a,b}.$ In the talk we include an application of contracted rotations which motivates an analysis of the numerical relation between the parameters a,b and $\rho_{a,b}.$ In certain cases, this relation is related to the so called Hecke-Mahler type series. It also takes us to some questions about the dynamics of the map $\phi_{a,b}.$ (Based on a joint work with Michel Laurent and Mark Pollicott.)

Atractores computacionalmente intratables en la familia cuadrática real

Cristóbal Rojas — Universidad Nacional Andrés Bello, Chile

En esta charla se mostrará la existencia de funciones en la familia cuadrática real cuyos atractores son computacionalmente intratables. Esta es la primera clase natural que se conoce de este tipo de ejemplos. En la charla introduciremos conceptos básicos de la teoría de la calculabilidad, y algunas nociones de las teorías de implosión parabólica y renormalización, necesarias para la construcción de los ejemplos.

No calculabilidad del locus de bifurcación para una familia de polinomios complejos a un parámetro

Daniel Coronel — Universidad Nacional Andrés Bello, Chile

En esta charla mostraremos la existencia de números calculables $\lambda$ para los cuales el locus de bifurcación $\partial M_\lambda$ de la familia $f_b(z) = \lambda$ z + b $z^2 + z^3$ no es calculable. La demostración se basa en que ciertas regiones de locus de conexidad de estas familias son cuasi-conformes a conjuntos de Julia llenos de las aplicaciones cuadráticas de la formas P(z)= $\lambda$ z + $z^2,$ y que existen ejemplos de este tipo con conjuntos de Julia no calculables. En la charla revisaremos estos resultados y mostraremos que la correspondencia entre estos conjuntos es calculable en la frontera.

The Mandelbrot set and its satellite copies

Luna Lomonaco — Universidad de São Paulo, Brasil

For a polynomial on the Riemann sphere, infinity is a (super) attracting fixed point, and the filled Julia set is the set of points with bounded orbit. Consider the quadratic family $P_c(z)=z^2+c.$ The Mandelbrot set M is the set of parameters c such that the filled Julia set of $P_c$ is connected. Douady and Hubbard, using renormalization, proved the existence of homeomorphic copies of M inside of M, which can be primitive (if, roughly speaking, they have a cusp) or satellite (if they don't). They conjectured that the primitive copies of M are quasiconformal homeomorphic to M, and that the satellite ones are quasiconformal homeomorphic to M outside any small neighbourhood of the root. These results are now theorems due to Lyubich. The satellite copies are not quasiconformal homeomorphic to M, but are they mutually quasiconformally homeomorphic? In a joint work with C. Petersen we prove that this question, which has been open for about 20 years, has in general a negative answer.

Invariance principle and rigidity of high entropy measures

Jiagang Yang — Universidad Federal Fluminense, Brasil

This is a joint work with Ali Tahzibi. A deep analysis of Lyapunov exponents of stationary sequence of matrices going back to Furstenberg, for more general linear cocycles by Ledrappier and generalized to the context of non linear cocycles by Avila and Viana gives an invariance principle for invariant measures with vanishing central exponents. In this paper we give a new criterium formulated in terms of entropy for the invariance principle and in particular obtain a simpler proof for some of the known invariance principle results. As a byproduct, we study ergodic measures of partially hyperbolic diffeomorphisms whose center foliation is 1- dimensional and forms a circle bundle. We show that for any such $C^2$ diffeomorphism which is accessible, weak hyperbolicity of ergodic measures of high entropy implies that the system itself is of rotation type.

Dinámica de Automorfismos en Nilvariedades

Sebastián Ramírez Duarte — PUCV, Chile

C^r-estabilización de ciclos no transversales

Sebastián Pérez-Opazo — Pontificia Universidade de Rio de Janeiro, Brasil

Un difeomorfismo f tiene un ciclo (heterodimensional) si existen conjuntos hiperbólicos (transitivos) con índices diferentes (dimensión del fibrado inestable) cuyos variedades invariantes se intersectan cíclicamente. El ciclo de f es $C^r$ -robusto si toda pequeña $C^r$ -perturbación de f tiene un ciclo asociado a las continuaciones de estos conjuntos hiperbólicos. Si el ciclo de f es definido por un par de sillas hiperbólicas decimos que este ciclo puede ser $C^r$ -estabilizado si toda $C^r$ -vecindad de f contiene difeomorfismos con un ciclo robusto asociado a conjuntos hiperbólicos que contienen las continuaciones de estas sillas. Un ciclo entre sillas es no transversal si sus intersecciones cíclicas no son transversales. En esta charla discutimos $laC^r$ -estabilizacion de ciclos no transversales en el caso tridimensional.

Sistemas no-uniformemente hiperbólicos sin splitting dominado

Pablo Carrasco — ICMC-USP, São Carlos, Brasil

En esta charla voy a presentar un método general para producir ejemplos de sistemas (conservativos) no-uniformemente hiperbólicos tales que el splitting correspondiente a los sub-espacios de Lyapunov estable e inestable no es dominado. Estos ejemplos tienen medida física, y de hecho este fenómeno es robusto en la topología $C^2.$ Parte interesante de la construcción es que permite atacar ejemplos concretos, y no requiere perturbaciones iniciales para lograr ergodicidad. Los argumentos son una generalización de un trabajo anterior con P. Berger.

The geometry of wild chaos and blenders

Stefanie Hittmeyer — University of Auckland, Nueva Zelanda

Wild chaos and blenders are two geometric mechanisms to construct complicated dynamics in noninvertible maps of dimension at least two and diffeomorphisms of dimension at least three. We first consider a two-dimensional noninvertible map that was introduced by Bamón, Kiwi and Rivera in 2006 as a model of wild Lorenz-like chaos. Wild chaos denotes the existence of a hyperbolic set with robust homoclinic tangencies. Advanced numerical techniques enable us to study how the critical set of the map interacts with the stable and unstable sets of a saddle fixed point as a parameter is varied along a path towards the wild chaotic regime. We find four types of bifurcations, namely, homoclinic tangencies (which also occur in invertible maps), and three types of tangency bifurcations involving the critical set (and specific to this type of noninvertible map). Overall, a consistent sequence of all four bifurcations emerges, which we present as a first attempt towards explaining the geometric nature of wild chaos. We further use this information to obtain an indication of the size of the parameter region where wild Lorenz-like chaos is conjectured to exist. We then consider a family of three-dimensional Hénon-like maps that exhibit blenders in a specific regime in parameter space. Blenders are hyperbolic sets that admit invariant manifolds that behave like geometric objects which have dimensions higher than expected from the manifolds themselves. We compute stable and unstable manifolds in this system, enabling us to show one of the first numerical pictures of the geometry of blenders. We furthermore present numerical evidence suggesting that the regime of existence of the blenders extends to a larger region in parameter space. This talk is based on joint work with Bernd Krauskopf, Hinke Osinga and Katsutoshi Shinohara.

Double recurrence Wiener-Wintner theorem and some of its consequences

Ryo Moore — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

We will first discuss an extension of J. Bourgain's double recurrence theorem to the Wiener-Wintner type averages. Secondly, we will discuss some of the consequences that followed from this result, such as a generalization of the polynomial Wiener-Wintner theorem, a result in weighted multiple ergodic averages, and its connection to a nilsequence Wiener-Wintner theorem. This is a joint work with I. Assani, and partly with D. Duncan.

Entropía y escape de masa para flujos geodésicos

Felipe Riquelme — PUCV, Chile

Wild chaos and blenders are two geometric mechanisms to construct complicated dynamics in noninvertible maps of dimension at least two and diffeomorphisms of dimension at least three. We first consider a two-dimensional noninvertible map that was introduced by Bamón, Kiwi and Rivera in 2006 as a model of wild Lorenz-like chaos. Wild chaos denotes the existence of a hyperbolic set with robust homoclinic tangencies. Advanced numerical techniques enable us to study how the critical set of the map interacts with the stable and unstable sets of a saddle fixed point as a parameter is varied along a path towards the wild chaotic regime. We find four types of bifurcations, namely, homoclinic tangencies (which also occur in invertible maps), and three types of tangency bifurcations involving the critical set (and specific to this type of noninvertible map). Overall, a consistent sequence of all four bifurcations emerges, which we present as a first attempt towards explaining the geometric nature of wild chaos. We further use this information to obtain an indication of the size of the parameter region where wild Lorenz-like chaos is conjectured to exist. We then consider a family of three-dimensional Hénon-like maps that exhibit blenders in a specific regime in parameter space. Blenders are hyperbolic sets that admit invariant manifolds that behave like geometric objects which have dimensions higher than expected from the manifolds themselves. We compute stable and unstable manifolds in this system, enabling us to show one of the first numerical pictures of the geometry of blenders. We furthermore present numerical evidence suggesting that the regime of existence of the blenders extends to a larger region in parameter space. This talk is based on joint work with Bernd Krauskopf, Hinke Osinga and Katsutoshi Shinohara.

Dynamics behind a one-parameter family of chaotic sequences

Arnaud Meyroneinc — Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, Venezuela

The paradigm of the sensitive dependence on initial conditions states that the source of unpredictability in chaotic dynamics is an exponential growth of discrepancies on initial conditions. We provide numerical evidences of an extreme form of sensitivity to initial conditions in a family of one-dimensional self–ruling dynamical systems. The simplest example in this family is the well known, explicitly solvable, chaotic quadratic map. We prove that for typical values of the parameter, the orbits satisfy closed–form expressions and are related to iterated function systems. Besides the classical notion of sensitivity, this family of chaotic systems also exhibits a sensitivity in the choices of the evolution rule encoded in the initial condition.

Órdenes y representaciones en Homeo+(R) de pi_1(Sigma) y otros grupos relacionados

Juan Alonso — Universidad de la República, Uruguay

Sea $\Sigma$ una superficie hiperbólica cerrada y orientable. Hablaré de las representaciones de $\pi_1(\Sigma)$ en $Homeo_+(\mathbb{R})$ sin puntos fijos globales. En un trabajo en conjunto con J. Brum y C. Rivas construimos varios tipos de perturbaciones continuas de dichas representaciones, que no son semi-conjugadas a la original. En la charla explicaré una de éstas construcciones, que sirve también para grupos más generales: los grupos $G$ obtenidos como producto amalgamado de dos grupos libres, identificando subgrupos cíclicos. Esto trae como consecuencia que el espacio de órdenes de $G$ no tiene puntos aislados.

Hiperbolicidad parcial en variedades de dimensión 3

Jana Rodriguez Hertz — Universidad de la República, Uruguay

Un difeomorfismo parcialmente hiperbólico es una generalización natural de los hiperbólicos. En las dinámicas hiperbólicas el comportamiento de la derivada tiene dos direcciones invariantes, una expansora y una contractiva. En los parcialmente hiperbólicos, además de estas dos se le agrega una dirección central que tiene un comportamiento intermedio. Las variedades de dimensión 3, las de menor dimensión que aceptan este comportamiento, son además, donde tienen lugar las dinámicas más interesantes. Veremos un pantallazo de los avances sobre ergodicidad integrabilidad y clasificación de estas dinámicas.

Minicurso: Between holomorphic dynamics and algebraic geometry (Parte 3)

Matthieu Arfeux — PUCV, Chile

Una de las grandes contribuciones de Jean-Christophe Yoccoz a la teoría de los Sistemas Dinámicos es la caracterización completa de los difeomorfismos del círculo que son conjugados a su versión lineal. Se trata de resultados de los años 80, los que fueron fundamentales no solo en el devenir del área en los años siguientes, sino también en la decisión del comité de la Medalla Fields para otorgársela en 1994 !!! Como un homenaje a este extraordinario matemático, les contaré lo que entiendo del tema, junto con algunas historias de mi relación con él como estudiante.

Tropical Complex Dynamics

Mitsuhiro Shishikura — Kyoto University, Japón

Complex rational maps induce rich and interesting dynamics on the Riemann sphere. The sphere is divided into two sets: the Fatou set where the dynamics is tame, and the Julia set where the dynamics is chaotic. For a rational map with non-empty Fatou set, one can associate a piecewise linear map on a tree. From this ``tree map'', on ``toropicalized complex dynamics'', we can derive some information on whether certain type of dynamics can be realized, or at which degree such dynamics can be realized. This tree map is supposed to describe the degeneration of rational maps under the limit of quasiconformal deformation, or the boundary of the moduli space. In this talk, we will discuss various problems related to the tropical complex dynamics.

Minicurso: Between holomorphic dynamics and algebraic geometry (Parte 2)

Matthieu Arfeux — PUCV, Chile

Una de las grandes contribuciones de Jean-Christophe Yoccoz a la teoría de los Sistemas Dinámicos es la caracterización completa de los difeomorfismos del círculo que son conjugados a su versión lineal. Se trata de resultados de los años 80, los que fueron fundamentales no solo en el devenir del área en los años siguientes, sino también en la decisión del comité de la Medalla Fields para otorgársela en 1994 !!! Como un homenaje a este extraordinario matemático, les contaré lo que entiendo del tema, junto con algunas historias de mi relación con él como estudiante.

Minicurso: Between holomorphic dynamics and algebraic geometry (Parte 1)

Matthieu Arfeux — PUCV, Chile

Una de las grandes contribuciones de Jean-Christophe Yoccoz a la teoría de los Sistemas Dinámicos es la caracterización completa de los difeomorfismos del círculo que son conjugados a su versión lineal. Se trata de resultados de los años 80, los que fueron fundamentales no solo en el devenir del área en los años siguientes, sino también en la decisión del comité de la Medalla Fields para otorgársela en 1994 !!! Como un homenaje a este extraordinario matemático, les contaré lo que entiendo del tema, junto con algunas historias de mi relación con él como estudiante.

Stability of measures in interval dynamics

Mike Todd — University of St Andrews, Reino Unido

Given a family of interval maps, each map possessing a canonical measure (an invariant measure absolutely continuous w.r.t. Lebesgue - an acip), we have a weak form of stability if these measures change continuously through the family. Even for uniformly hyperbolic dynamical systems this stability can fail. I'll give minimal conditions for a class of non-uniformly hyperbolic interval maps to satisfy this stability property. This work forms part of a paper with Neil Dobbs, where more general thermodynamic properties are proved to be stable (entropy, pressure, equilibrium states), and I'll give some indication of the general approach there.

Difeomorfismos conservativos isotópicos a Anosov en T^3

Martín Andersson — Universidade Federal Fluminense, Brasil

We prove that a partially hyperbolic diffeomorphism which is isotopic (through a isotopy by partially hyperbolic diffeomorphisms) to a linear Anosov diffeomorphism on the d-dimensional torus is dynamically coherent. We apply the above to study measures of maximal entropy in this setting.

Normas extremales y aplicaciones

Jairo Bochi — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Dado un conjunto de matrices, el "joint spectral radius" (JSR) es la más grande tasa de expansión asintótica de los productos de esas matrices. Bajo una condición de irreductibilidad, se muestra que existe una norma extremal, es decir, una norma con respecto a la cual ninguna matriz puede expandir más que el JSR. Pasando al contexto más general de cociclos lineales, el JSR (o mejor, su log) es remplazado por el máximo del exponente de Lyapunov sobre todas las medidas invariantes. En un trabajo conjunto con Eduardo Garibaldi, consideramos cociclos de tipo "fiber bunched" arriba de dinámica uniformemente hiperbólica. Demostramos la existencia de norma extremal bajo una condición de irreductibilidad. Aplicando ese teorema, identificamos los soportes de las medidas invariantes que maximizan el exponente de Lyapunov, obtenemos descomposiciones dominadas en esos conjuntos, y mostramos que el exponente de Lyapunov maximal se puede aproximar de manera eficiente utilizando órbitas periódicas de bajo período (extendiendo así resultados de Berger-Wang, Morris, y Kalinin).

Continuidad absoluta de foliaciones invariantes para difeomorfismos genéricos

Enzo Fuentes — Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile

En esta conferencia hablaremos sobre la dinámica de difeomorfismos que son obtenidos deformando un difeomorfismo de Anosov, manteniedo una estructura de hiperbolicidad débil. Demostraremos que estos son siempre transitivos y hablaremos sobre la possibilidad de demostrar ergodicidad. Este es un trabajo en colaboración con Shaobo Gan.

Contraejemplos a la desigualdad de Ruelle

Felipe Riquelme — Université de Rennes, Francia

En esta charla discutiremos la veracidad (o falsedad) de la desigualdad de Ruelle en el marco de difeomorfismos definidos sobre variedades Riemannianas no compactas. Esta desigualdad, válida para cualquier difeomorfismo de clase $C^1$ de una variedad compacta, nos dice que la entropía de Kolmogorov-Sinai es menor o igual a la suma de los exponentes de Lyapunov positivos. Veremos que, quitando la hipótesis de compacidad, esta desigualdad deja de ser siempre cierta. Siendo más precisos, construiremos una familia de contraejemplos de difeomorfismos en variedades no compactas tales que los exponentes de Lyapunov son todos nulos mientras que la entropía puede ser escogida de manera arbitraria. Si el tiempo lo permite, se discutirán algunos casos genéricos sobre los cuales la desigualdad se satisface.

Zero entropy subgroups of the mapping class group

Kamlesh Parwani — Eastern Illinois University, Estados Unidos

Let $M$ be a compact surface with boundary. We are interested in the question of how a group action on $M$ permutes a finite invariant set $X \subset int(M)$. More precisely, how the algebraic properties of the induced group of permutations of a finite invariant set affects the dynamical properties of the group. Our main result shows that in many circumstances if the induced permutation group is not solvable then among the homeomorphisms in the group there must be one with a pseudo-Anosov component. We formulate this in terms of the mapping class group relative to the finite set and show the stronger result that in many circumstances (e.g. if $\partial M \ne \emptyset$) this mapping class group is itself solvable if it has no elements with pseudo-Anosov components. This is joint work with John Franks.

Coexistencia de infinitos atractores para dinámicas de superficie

Enrique Pujals — IMPA, Brasil

En los años setenta, Newhouse probó que cerca de un diffeomorfismo de superficie que posee una tangencia homoclínica, existen abiertos conteniendo un residual de difeos tal que cada uno de ellos exhiben infinitos atractores periódicos. A pesar de ser un fenómeno prevalente desde el punto de vista topológico, surgió la pregunta natural de si el mismo fenómeno sería frecuente cuando se considerase familias paramétricas. Conjuntamente con P. Berger y S. Crovisier, mostramos que para endomorfismos de superficie exhibiendo un ``biciclo" (tangencia y ciclo heterodimensional), existen abiertos próximos tal que para familias paramétricas genéricas de endomorfismos en ese abierto, la medida de los parámetros de las dinámicas que poseen infinitos atractores periódicos es positiva. En la charla, trataremos de explicar las nuevas herramientas que son utilizadas para obtener el resultado.

Difeomorfismos de superficie en la frontera del caos

Enrique Pujals — IMPA, Brasil

Charles Tresser, inspirado en sus estudios sobre la frontera del caos para el caso de dinámicas unidimensionales del intervalo, conjeturó que en el espacio de difeomorfismos suaves y disipativos del disco que preservan orientación, las dinámicas que están en la frontera de aquellos con entropía positiva, exhiben una ``cascada de duplicación de periodo". Conjuntamente con S. Crovisier y C. Tresser, probamos esta conjetura asumiendo que los difeomorfismos son ``fuertemente disipativos". Durante la charla, trataremos de explicar en que consiste``entender dinámicas en la frontera del caos" y presentar tanto la prueba unidimensional como su contrapartida bidimensional.

Simplicidad del espectro de Lyapunov para cociclos lineales sobre mapas parcialmente hiperbólicos

Mauricio Poletti — IMPA, Brasil

El estudio de cocyclos lineales es un tema clásico y bastante desarrollado dentro del área de sistemas dinámicos y teoría ergódica, el ejemplo más simple es dado por la derivada de un difeomorfismo, pero la noción es más general y aparece en otras situaciones como la teoría espectral de operadores de Schrödinger. Algunas de las principales herramientas para estudiar la dinámica de los cocyclos son los exponentes de Lyapunov y espacios de Oseledets, dados por el teorema ergódico multiplicativo de Oseledets. Entre las preguntas clásicas se encuentra el problema de simplicidad del espectro cuando los espacios de Oseledets tienen dimensión 1?. Criterios de Simplicidade del espectro fueron dados por Ghivarsch-Raugi, Gol'dsheid-Margulis y, más recientemente, Bonatti-Viana e Avila-Viana. En estes casos los autores consideran mapas hiperbólicos, como shifts y difeomorfismos Axioma A. En este trabajo extendemos dichos criterios para una clase de sistemas parcialmente hiperbólicos. Especificamente skew-products: f : Σ × K → Σ × K, f(x, t) = (σ(x), fx(t)), donde σ : Σ → Σ es un homeomorfismo hiperbólico. El cociclo F̂A : M̂ × Cd → M̂ × Cd es definido por un mapa A : Σ × K → SL(d, R), fiber bunched, de la siguiente forma: F̂A(x̂, v) = (f̂(x̂), Â(x̂)v). Probamos que con ciertas condiciones de twisting y pinching tenemos espectro simple. Este es un trabajo en conjunto con el profesor Marcelo Viana.

Hipersuperficies Levi-flat en las superficies complejas

Carolina Canales — Université Paris-Sud, Francia

El estudio de cocyclos lineales es un tema clásico y bastante desarrollado dentro del área de sistemas dinámicos y teoría ergódica, el ejemplo más simple es dado por la derivada de un difeomorfismo, pero la noción es más general y aparece en otras situaciones como la teoría espectral de operadores de Schrödinger. Algunas de las principales herramientas para estudiar la dinámica de los cocyclos son los exponentes de Lyapunov y espacios de Oseledets, dados por el teorema ergódico multiplicativo de Oseledets. Entre las preguntas clásicas se encuentra el problema de simplicidad del espectro cuando los espacios de Oseledets tienen dimensión 1?. Criterios de Simplicidade del espectro fueron dados por Ghivarsch-Raugi, Gol'dsheid-Margulis y, más recientemente, Bonatti-Viana e Avila-Viana. En estes casos los autores consideran mapas hiperbólicos, como shifts y difeomorfismos Axioma A. En este trabajo extendemos dichos criterios para una clase de sistemas parcialmente hiperbólicos. Especificamente skew-products: $f:\Sigma\times K\to \Sigma \times K$ $ f(x,t)=\left(\sigma(x),f_x(t)\right) $ donde $\sigma:\Sigma\to \Sigma$ es un homeomorfismo hiperbólico. El cociclo $\hat{F}_A:\hat{M}\times \mathbb{C}^d\rightarrow \hat{M}\times \mathbb{C}^d$ es definido por un mapa $A:\Sigma\times K\to SL(d,\mathbb{R})$, fiber bunched, de la siguiente forma: $ \hat{F}_A\left(\hat{x},v\right)=\left(\hat{f}(\hat{x}),\hat{A}(\hat{x})v\right) $ Probamos que con ciertas condiciones de twisting y pinching tenemos espectro simple. Este es un trabajo en conjunto con el profesor Marcelo Viana.

Exponente Lebesgue-esencial y entropía positiva en difeomorfismos C^1 con splitting dominado

Eleonora Catsigeras — Universidad de la República, Uruguay

Sea f un difeomorfismo de clase C1 con splitting dominado en una variedad compacta. A partir de un ejemplo de Gourmelon y Potrie, se sabe que la entropía topológica de f puede ser cero. Aquí expondremos condiciones suficientes para que la entropía sea positiva. Estas condiciones consideran la variación de la medida de Lebesgue en la variedad, al iterar el difeomorfismo. Definimos el exponente “Lebesgue-esencial” como la tasa exponencial asintótica de crecimiento (o decrecimiento si fuera negativa) de la medida de Lebesgue. Probamos que si el exponente Lebesgue-esencial hacia el futuro o hacia el pasado no es muy negativo, entonces la entropía topológica de f es positiva. Como caso particular, si la medida de Lebesgue es invariante, o si es una medida no invariante pero “recurrente” (según definición que introduciremos), entonces la entropía topológica de f es positiva. Este es un trabajo conjunto con Xueting Tian.

Piecewise contraction maps on the interval

Arnaldo Nogueira — Institut de Mathématiques de Marseille, Francia

Certain mathematical models,like contracting outer billiards and switched flow systems,are described by PC maps. In their setup, it is expected that a typical PC map has finitely many orbits and every orbit converges to a periodic orbit. In our talk we will prove the claim for interval PC maps. Our approach is the following: We fix an Iterated Function System formed by $n$ Lipschitz contraction interval maps, $\phi_i:I\to I$. Every partition of the interval into $n$ subintervals,$\lbrace I_1,\ldots,I_n\rbrace$, is associated in a natural way to a parameter-vector $(x_1,\ldots,x_{n-1})$, where $0<x_1<...<x_{n−1}<1$. Therefore every parameter-vector defines a PC map $f_{x_1,...,x_{n−1}}:I\to I$ by setting $f|_{I_i}=\phi_i$. We prove that, for Lebesgue almost every parameter-vector,the map $f_{x_1,...,x_{n−1}}$ has atmost $n$ periodic orbits and is asymptotically periodic. Joint work with Benito Pires and Rafael Rosales.

Optimal decay of correlations for non-uniformly hyperbolic systems

Sandro Vaienti — Université de Marseille, Francia

We present some new result about optimal decay of correlations (lower bounds), for invertible and non-invertible dynamical systems with weak hyperbolicity (in collaboration with H Zhang).

SRB measures for non uniform hyperbolic endomorphisms

Anderson Cruz — Universidade Federal da Bahia, Brasil

The concept of SRB measures arise in the 70’s with the works of Sinai, Ruelle and Bowen. They shown that for hyperbolic diffeomorphisms there exist a invariant probability measure which has absolute continuous conditional measures with respect to the Lebesgue measure along unstable manifolds. Often, the measure induced by a volume form on the manifold is not invariant and the map is volume decreasing. This property means that, in some sense, exist a invariant probability measure which is comparable to the volume measure.In this talk, we study measures with the SRB property relatively to an endomorphism and present a way to construct them for a class of endomorphisms that has some non uniform hyperbolicity. Here we mean by a endomorphism a local diffeomorphism in a compact Riemannian manifold.This is joint work with P. Varandas (UFBA).

Entropía e hiperbolicidad uniforme

Mario Roldán — Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brasil

Cada difeomorfismo $f$, definido sobre una variedad $M$, induce una transformación lineal $f*k$, definido sobre un espacio vectorial $H*k$, y como tal posee entropía $h*k$. Si $f$ es un difeomorfismo hiperbólico de Anosov parece evidente buscar una relación entre el índice $k$ (existencia de conjuntos hiperbólicos con dimensión inestable $k$ y con entropía grande) y la aplicación lineal $f*k$. En el seminario explicaré tal relación y después consideraremos el caso de ciertos difeomorfismos parcialmente hiperbólicos del $n$-toro. Para finalizar discutiremos un análogo para fluxos parcialmente hiperbólicos.

Attractors with equilibrium

Maria José Pacífico — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

We shall survey about 3-flows presenting equilibrium accumulated by regular orbits. In particular, we shall discuss, from the topological as well from the measure theoretical point of view, some of the main results on Lorenz-like flows, and on flows displaying global ``strange" attractors with spiral geometry.

Endomorfismos robustamente transitivos con puntos críticos persistentes

Cristina Lizana Araneda — Universidad de Los Andes, Venezuela

Abordaremos el problema de dar condiciones necesarias y suficientes para tener endomorfismos robustamente transitivos admitiendo puntos críticos persistentes. Mostraremos diferentes tipos de ejemplos de mapas robustamente transitivos en cualquier clase de isotopía de endomorfismos actuando sobre el Toro bidimensional admitiendo puntos críticos persistentes. También daremos condiciones necesarias para la transitividad robusta en esta configuración. Este es un trabajo en conjunto con Jorge Iglesias y Aldo Portela.

Ciclos heterodimensionales robustos

Sebastián Pérez-Opazo — Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brasil

En los años 60 Smale apostaba a que la noción de ``hiperbolicidad" (Axioma A + no ciclos) fuese suficiente (abierta y densa) para describir el conjunto de sistemas $Diff^r(M)$, sobre una variedad compacta $M$ de dimensión $n$. En un trabajo seminal, el propio Smale junto con Abraham [AS,68] hacia fines de los años 60, exihibieron para el caso $r=1$ y $n=4$, un abierto de difeomorfismos que no satisfacen el axioma A. El ingrediente esencial de esta obstucción para la hiperbolicidad, son los llamados Ciclos Hererodimensionales Robustos. La comprensión de estos ciclos resulta entonces de capital importancia en la teoría de los Sistemas Dinámicos. En esta charla, hablaré sobre el artículo de Bonatti-Díaz [BD,08] en el que los autores ofrecen un escenario para el surgimiento de tales de ciclos en la topología $C^1$ y sus consecuencias genéricas. Es preciso mencionar que la piedra angular de este trabajo es la noción de ``blender". A groso modo, un blender es conjunto compacto hiperbólico (en una variedad de dimensión al menos 3), del tipo herradura de Smale, con una notable propiedad geométrica : existe un conjunto en el espacio ambiente en donde la variedad estable del blender se ``comporta" como si tuviera una dimensión (topológica) mas!. La persistencia de estos conjuntos y su riqueza dinámica son claves para garantizar el nacimiento de Ciclos Heterodimensionales Robustos. References: [AS,68] R. Abraham and S. Smale, Nongenericity of $\Omega$-stability (1968) [BD,08] C. Bonatti, L. Díaz, Robust heterodimensional cycles and $C^1$ -generic dynamics, 2008.

Complex bounds for interval maps

Sofía Trejo — Universidade de São Paulo, Brasil

The use of complex methods is now common practice in the field of one-dimensional (real) dynamics. In fact, it was the use of complex tools that allowed to solve many important problems in the field, such as density of hyperbolicity [KSvS] and the Palis conjecture for the quadratic family [L]. In this talk, I will discuss how to build complex “Markov partitions” extending the dynamics of (real) interval maps, and some of its applications. More specifically, I will explain the basic ideas behind the construction of complex box-mappings and the proof of complex bounds. References: [CvST] T. Clark, S. van Strien and S. Trejo. Complex bounds for real maps. Preprint: arXiv:1310.8338. [KSvS] O. Kozlovski, W. Shen and S. van Strien. Density of hyperbolicity in dimension one. Ann. of Math. 166 (2007), 145-182. [L] M. Lyubich. Almost every real quadratic map is either regular or stochastic. Annals of Mathematics, 156 (2002), p.1-78.

Entropía topológica para semiflujos impulsivos

Nelda Jaque — Universidad Católica del Norte, Chile

Discutiremos la noción de entropía topológica para semiflujos impulsivos. Daremos dos nuevas definiciones de esta noción, una usando conjuntos generadores y otra usando conjuntos separados. Probaremos que estas dos nuevas definiciones son equivalentes y extiende la noción de entropía topológica usual introducida por Bowen cuando el semiflujos impulsivo es continuo.

Sobre dinámicas discretas en hiperespacios

Javier Camargo — Universidad Industrial de Santander, Colombia

Un continuo $X$ es un espacio métrico compacto, conexo y diferente de vacío. Algunos hiperespacios de $X$ que estudiamos son los siguientes: * $2^{X}=\{A{\subset}X:X\hspace{0.1cm}\mbox{es}\hspace{0.1cm}\mbox{compacto}\hspace{0.1cm}\mbox{y}\hspace{0.1cm}\mbox{no}\hspace{0.1cm}\mbox{vacío}\}$; * $C(X)=\{A{\in}2^{X}:A\hspace{0.1cm}\mbox{es}\hspace{0.1cm}\mbox{conexo}\}$; * $F_n(X)=\{A{\subset}X:1{\leq}|A|{\leq}n\}$, $n{\in}{\mathbb{N}}$. El conjunto $2^{X}$ se considera con la topología inducida por la métrica de Haudorff y $C(X)$ y $F_n(X)$ se dotan de la topología de subespacio de $2^{X}$. Adicionalmente, si $f:X{\to}X$ es una función continua, donde $X$ es un continuo, entonces se definen las funciones inducidas $2^{f}:2^{X}{\to}2^{X}$ dada por $2^{f}(A)=f(A)$, para cada $A{\in}2^{X}$, y $C(f):C(X){\to}C(X)$ y $F_n(f):F_n(X){\to}F_n(X)$] las respectivas restricciones $C(f)=2^{f}|_{C(X)}$ y $F_n(f)=2^{f}|_{F_n(X)}$, respectivamente. Según Robert Devaney, una función continua $f:X{\to}X$, donde $X$ es un continuo, es llamada caótica si $f$ es topológicamente transitiva y el conjunto de sus puntos periódicos es denso. Estudiaremos estas propiedades sobre las funciones $f$, $F_n(f)$, $C(f)$ y $2^{f}$.

Global dynamics for symmetric planar maps

Begoña Alarcón Cotillas — Universidade Federal Fluminense, Brasil

This is a joint work with S. Castro and I. Labouriau. We consider sufficient conditions to determine the global dynamics for equivariant maps of the plane with a unique fixed point which is also hyperbolic. When the map is equivariant under the action of a compact Lie group, it is possible to describe the local dynamics. In particular, if the group contains a reflection, there is a line invariant by the map. This allows us to use results based on the theory of free homeomorphisms to describe the global dynamical behaviour. We briefly discuss the case when reflections are absent, for which global dynamics may not follow from local dynamics near the unique fixed point.

On factors of Gibbs measures for almost additive potentials

Yuki Yayama — Universidad del Bío-Bío, Chile

Let $(X,\sigma_X), (Y,\sigma_Y)$ be one-sided subshifts with the specification property and $\pi:X{\rightarrow} Y$ a factor map. Let $\mu$ be a unique invariant Gibbs measure for a sequence of continuous functions $F=\{{\log}f_n\}_{n=1}^{\infty}$ on $X$, which is an almost additive potential with bounded variation. We show that ${\pi}{\mu}$ is a unique invariant Gibbs measure for a sequence of continuous functions $G=\{{\log} g_n\}_{n=1}^{\infty}$ on $Y$. For $(X,\sigma_X)$ is a full shift, we characterize $G$ and $\mu$ by using relative pressure. This almost additive potential $G$ is an extension of a continuous function found by Pollicott and Kempton in their work on factors of Gibbs measures for continuous functions under factor maps. We also consider the following question: Given a unique invariant Gibbs measure $\nu$ for a sequence of continuous functions $F_2$ on $Y$, can we find an invariant Gibbs measure $\mu$ for a sequence of continuous functions $F_1$ on $X$ such that ${\pi}{\mu}={\nu}$? If $(X,\sigma_X)$ is a full shift and $\nu$ is a unique invariant Gibbs measure for a function in the Bowen class, then we can find a preimage $\mu$ of $\nu$ which is a unique invariant Gibbs measure for a function in the Bowen class.

Sobre la regularización de aplicaciones conservativa

Sebastián Pérez-Opazo — Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brasil

En este seminario hablaré sobre el trabajo de Artur Avila, On the regularizations of conservative maps (2010), en el cual se muestra que las aplicaciones $C^{\infty}$ son densas en la categoría de las aplicaciones $C^1_{vol}$, entre variedades $M$ y $N$. Este problema fue propuesto por Palis-Pugh en 1975. Mas generalmente, el problema consistió en saber si $C^{\infty}$ es denso en $C^r _{vol}$, $r>0$. En esta dirección, importante fueron los trabajos de Zehndler (1977), cuyas ideas resolvieron el caso $r>1$. Su enfoque fue esencialmente EDP's. En el caso $r=1$ aparecen obstrucciones, que las técnicas anteriores no resuelven. La prueba de Avila es simple y se basa esencialmente en la propiedad de invarianza de escala de la topología $C^{1}$.

Continuidad absoluta de convoluciones de Bernoulli

Pablo Shmerkin — Universidad de Buenos Aires, Argentina

Las convoluciones de Bernoulli son una familia de medidas en la recta, parametrizadas (en el rango de interés) por $\lambda \in (1/2,1)$. La pregunta fundamental es para qué parámetros estas medidas resultan singulares; llamemos excepcionales a estos parámetros. Erdös ya en 1939 exhibió una familia numerable de parámetros excepcionales; hasta hoy no se sabe si hay otros. Recientemente demostré que el conjunto de parámetros excepcionales tiene dimensión de Hausdorff 0. Esto mejora resultados anteriores de Erdös, Kahane, Solomyak, Peres-Schlag y Hochman. Voy a contar la historia de las convoluciones de Bernoulli, algunas de sus conexiones con sistemas dinámicos, y la idea de la demostración, que es sorprendentemente simple.

Optimización de exponentes de Lyapunov

Jairo Bochi — Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brasil

Voy a considerar cociclos de matrices 2 por 2 de tipo ``one-step”. Voy a mostrar que si el cociclo tiene determinadas propiedades de hiperbolicidad (existen de conos estrictamente invariantes sin superposiciones) entonces las medidas que maximizan o minimizan el exponente de Lyapunov tienen entropía cero. Este es un trabajo conjunto con Michal Rams (Varsovia).

Hiperbolicidad no uniforme robusta

Martín Andersson — Universidade Federal Fluminense, Brasil

En este seminario veremos lo que es hiperbolicidad parcial e hiperbolicidad no uniforme. Veremos para que sirven estos conceptos, porque son difíciles de estudiar con gran generalidad, y porque cuando se mezclan los dos, la matemática se hace mas bella.

Hacia la solución de tres preguntas fundamentales sobre foliaciones de codimensión 1

Andrés Navas — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta charla se presentarán resultados definitivos que apuntan en una dirección afirmativa para dar respuesta a conjeturas de Ghys, Hector y Sullivan, a saber: las foliaciones de codimensión 1 minimales son ergódicas, mientras que si hay un minimal excepcional éste debe tener medida de Lebesgue nula y su complemento estará formado por finitas órbitas de componentes conexas. Se trata de un trabajo en colaboración con B. Deroin y V. Kleptsyn.

Lyapunov exponents in non-hyperbolic dynamics

Katrin Gelfert — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

We study Lyapunov exponents for a family of partially hyperbolic and topologically transitive diffeomorphisms that are step skew-products over a horseshoe map. These maps are genuinely non-hyperbolic and the central Lyapunov spectrum contains negative and positive values. We show that in a first model, besides one gap, this spectrum is complete. We also investigate how Lyapunov regular points with corresponding (central) exponents are distributed in the fibers. The principal ingredients of our proofs are minimality of the underlying iterated function system and shadowing- like arguments. In another model we study multiple phase transitions for the topological pressure of geometric potentials. We prove that for every $k$ there is a diffeomorphism with a transitive set as above such that the pressure map of the parametrized geometric potential has $k$ rich phase transitions. This means that there are $k$ parameters where pressure is not differentiable and this lack of differentiability is due to the coexistence of two equilibrium states with positive entropy and different Birkhoff averages. Each phase transition is associated to a gap in the central Lyapunov spectrum. (Joint work with L. Diaz (PUC Rio de Janeiro) and M. Rams (IMPAN Warsaw).)

Ciclos heterodimensionais

Yuri Ki — Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Brasil

Rigidez geométrica de homeomorfismos críticos del círculo

Pablo Guarino — Universidade de São Paulo, Brasil

Nuevos métodos variacionales para el problema newtoniano de N-cuerpos

Ezequiel Maderna — Universidad de la República, Uruguay

Thermodynamic formalism for wild attractors

Mike Todd — University of St Andrews, Reino Unido (Escocia)

Thermodynamic formalism for dynamical systems gives a toolbox to study the statistical properties of the system: it can provide ergodic invariant measures, statistical limit laws etc. There have been significant developments recently in the area of non-uniformly hyperbolic dynamical systems, but in almost all cases these systems are still rather well-behaved: at least `physical' invariant measures exist and have good mixing properties. In this talk, I'll discuss what happens when such measures don't exist due to the presence of a wild attractor (a metric attractor not equal to the topological attractor). I'll outline a very precise analysis of the pressure function which relate to unusual statistical behaviour.

High order iterative method in Riemannian manifolds

Rodrigo Castro Marín — Universidad de Santiago de Chile (USACH), Chile

The iterative methods of higher order for finding zeroes of a vector function have been extensively studied for over a century. Maybe the most important ones are: Newton, Shamanskii, Halley, Super -- Halley, Chevyshev, Chevyshev -- Halley and the Two steps method. These methods have been extended to Banach spaces starting with the work of Kantorovichin the 1960's. There have been several proofs of convergence and uniqueness of the sequences associated to these methods, under different types of hypotheses regarding the vector functions considered and the starting points. In this work, we extend the methods mentioned above to the context of complete Riemannian Manifolds. These extensions allow us to find zeroes (singularities) of vector fields on manifolds. We prove the convergence of the sequences appearing in each method, and uniqueness of the singularities determined by them. For this we use non-trivial adaptations to the context of manifolds of some of the techniques studied in Banach spaces such as the majorizing sequence.

Lyapunov exponents, non-uniform specification and applications

Krerley Oliveira — Universidad Federal de Alagoas (UFAL), Brasil

Periodic orbits are main actors in dynamical systems. Despite the fact that in some setting they are extremely difficult to obtain, under a ``sufficient chaotic" situation there are plenty of them. How they are distributed, plays a important role in the study of dynamical systems. In this talk we discuss a notion of ``non-uniform specification", introduced by Saussol et al and prove a general version of the well-known ``Katok's Closing Lemma". Given a (ergodic) invariant measure for $C^{1}$ a dynamical system with only positive Lyapunov exponents, we are able to show that almost every point is shadowed by a periodic orbit with period that growth sublinearly (or even better) with the size of the piece of orbit that you wanna shadow. We discuss some interesting applications on recurrence estimates and approximations by periodic measures. The talk will be accessible (I hope so!) to advanced Masters and Ph.D. students.

Sistemas parcialmente hiperbólicos, integrabilidad y todo eso

Pablo Carrasco — IMPA, Brasil

En esta charla discutiremos sistemas parcialmente hiperbólicos, una generalización de los bien conocidos sistemas hiperbólicos. Además de presentar generalidades y ejemplos, discutiremos propiedades referentes a la geometría de estos. Trataremos también de "recuperar" algunas propiedades de los sistemas hiperbólicos (existencia de hojas periódicas, expansividad, etc.).

Extensiones simbólicas y descomposición dominada en difeomorfismos de clase C^1

Alma Armijo Averil — Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Brasil

Estudiamos cuando un difeomorfismo de clase $C^1$ conservativo en superficie posee extensión simbólica o descomposición dominada, luego trataremos de extenderlo para variedades en dimensión mayor a dos.

La segunda regla de Chargaff en genómica

Servet Martínez — CMM-Universidad de Chile, Chile

La segunda regla de Chargaff en genomica establece que la distribución de los polímeros en ambas hebras del DNA es la misma. Esta ley se ha verificado empíricamente pero no se ha dado una explicación de la misma. En este seminario explicamos esta ley basandonos en la conocida complementariedad de las bases de ambas hebras y asumiendo que las distribuciones son Gibbsianas.

Polynomial global product structure

Andy Hammerlindl — IMPA, Brasil

An Anosov diffeomorphism has Global Product Structure if, on the universal cover, every unstable leaf intersects every stable leaf exactly once. In the 1970s, M. Brin defined a condition called ''pinching'' for Anosov diffeomorphisms and showed that it implied Global Product Structure. Later, with A. Manning, he gave a classification of these systems, showing they are topologically conjugate to algebraic examples. In fact, for the proof of the classification, one only needs a polynomial bound on distances involved in the Global Product Structure. Thus, the result generalizes to other cases, such as when the foliations are quasi-isometric, and can be further generalized to partially hyperbolic systems.

Sobre límites marítimos y otros conjuntos que tampoco son tan simples como los pintan

Mario Ponce Acevedo — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Estudiamos propiedades geométricas de conjuntos equidistantes compactos dados del plano. Mostramos además como estos conjuntos pueden ser tratados como generalizaciones naturales de conjuntos clásicos.

Copos de nieve conformes aleatorios

Jonathan Conejeros — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Se puso de manifiesto durante las últimas décadas que las configuraciones extremales en muchos problemas importantes en análisis complejo, tienen complicadas estructuras fractales. Como por ejemplo se puede considerar el problema de los coeficientes para funciones univalentes, como la Conjetura de Bieberbach. Nosotros en esta charla abordaremos el //espectro medio integral universal// sobre dominios simplemente conexos del plano complejo, y buscaremos una respuesta al problema de buscar una clase de fractales que resuelvan el problema maximal. Para eso, introduciremos los fractales llamados //copos de nieve conformes aleatorios// y probaremos que se puede encontrar la solución al problema de maximalidad en esta clase de fractales.

Tópicos en Gap-Labelling

Mauricio Allendes Cerda — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En esta charla estudiamos una aplicasión de embaldosados (Tiling) en física matemática. Comenzamos revisando ejemplos que ilustren lo que consideraremos una función de Gap - Labelling. Luego introduciremos un operador //A// actuando en un solido cuasi cristal. Nuestra intención es poder decir algo con respecto al espectro de //A//. Utilizando el método de celdas de Voronoi, asociaremos un embaldosado //T// al patrón de difracción del cuasi cristal y utilizaremos el método del lazo estrecho (Tight - Binding) para aproximar el operador, por un operador acotado $//A_0//,$ y pasar así de un problema continuo a un problema discreto. Bajo ciertas hipótesis de regularidad sobre $//A_0//,$ se puede asumir que este operador pertenezca a una //C^*//-álgebra, //A//_//T//, asociada al embaldosado //T//. De este modo, por medio de una traza definida en esta //C^*//-álgebra, podemos conseguir una función de Gap - Labelling para el operador $//A_0//$ una vez que hallamos asociado un grupo de Grothendieck a //A//_//T//. Si el tiempo nos acompaña, hablaremos de la conjetura del Gap - Labelling formulada por Jean Bellissard en el año 2000 que conjetura los valores explícitos que alcanza cierta función de Gap - Labelling.

La medida de máxima entropía detecta la hiperbolicidad no uniforme

Juan Rivera-Letelier — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

A mediados de los años 1990, Carleson, Jones y Yoccoz demostraron que para un polinomio complejo hay una relación estrecha entre las propiedades geométricas de la cuenca de atracción del infinito y las propiedades de hiperbolicidad del polinomio: la cuenca de atracción del infinito es un dominio de John si y solo si el polinomio es semi-hiperbólico. Unos pocos años después, Graczyk, Przytycki y Smirnov demostraron que la cuenca de atracción del infinito es un dominio de Hölder si y solo si el polinomio satisface una forma mas débil de hiperbolicidad, conocida como la condición de Collet - Eckmann topológica. Demostraremos que cada una de estas propiedades, que la cuenca de atracción del infinito sea un dominio de John o de Hölder, se puede caracterizar en términos de la medida de máxima entropía.

Phase transition for a model of globally coupled chaotic interval maps

Jean-Baptiste Bardet — LMRS, Université de Rouen & CMM-Universidad de Chile, Francia

In a joint work with Gerhard Keller and Roland Zweimüller, we introduce a model of globally coupled chaotic interval maps for which, the self-consistent Perron - Frobenius operator, describing the infinite-size dynamics exhibits a bifurcation from a unique stable equilibrium to the coexistence of two stable and one unstable equilibrium, whereas all finite-size dynamics remain chaotic.

Formalismo termodinámico casi aditivo

Godofredo Iommi — Universidad Católica de Chile, Chile

Generalizando resultados clásicos en formalismo termodinámico, definimos la presión de una sucesión de funciones casi aditivas en espacios simbólicos no compactos. Probaremos el principio variacional. Bajo hipótesis adicionales probaremos la existencia de medidas de Gibbs y de estados de equilibrio. Mostraremos aplicaciones en teoría de la dimensión y en exponentes de Lyapunov maximales del producto de matrices (trabajo conjunto con Yuki Yayama).

Organizando el caos

Pablo Aguirre — Universidad de Bristol, Reino Unido

Comportamientos caóticos o impredecibles aparecen de forma natural en muchos sistemas dinámicos aplicados: propagación de impulsos nerviosos en neuronas, sistemas de comunicaciones, reacciones electroquímicas y procesos de oxidación, cadenas alimentarias en sistemas depredador-presa, dinámica de láser, en las icónicas ecuaciones de Lorenz en meteorología, etc. En esta charla, nos enfocamos en la bifurcación homoclínica de Shilnikov; este es el ejemplo mas sencillo de creación de caos - también llamado “Caos de Shilnikov”- a partir de un fenómeno de codimensión uno en un campo vectorial tridimensional. Bajo ciertas condiciones, la existencia de una orbita homoclínica a un punto de equilibrio de tipo silla-foco, induce una dinámica caótica gracias a la presencia de una cantidad infinita de órbitas periódicas de tipo silla en una vecindad tubular de la órbita homoclínica. A pesar de que las bifurcaciones de tipo Shilnikov son, en cierta manera, bien conocidas, su estudio ha sido efectuado históricamente en base a reducciones a mapeos bidimensionales cerca del punto de equilibrio y de los objetos unidimensionales (la órbita homoclínica, ciclos límites) que componen la dinámica. La pregunta clave ahora es: ''Como estos objetos y sus respectivas variedades invariantes bidimensionales cambian durante la bifurcación para reorganizar la dinámica del espacio de fase y el caos de Shilnikov.''

Equidistribución de puntos de Hecke en el módulo supersingular

Ricardo A. Menares V. — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Generalizando resultados clásicos en formalismo termodinámico, definimos la presión de una sucesión de funciones casi aditivas en espacios simbólicos no compactos. Probaremos el principio variacional. Bajo hipótesis adicionales probaremos la existencia de medidas de Gibbs y de estados de equilibrio. Mostraremos aplicaciones en teoría de la dimensión y en exponentes de Lyapunov maximales del producto de matrices (trabajo conjunto con Yuki Yayama).

Existence of an optimal transport

Thierry Champion — Université de Sud Toulon-Var, Francia

In this talk, I shall present a recent proof the existence of an optimal transport map for the classical Monge Optimal Transport Problem. No previous knowledge on the subject is needed. The technique we develop for proving this existence result is based on the coupling of a simple but powerfull regularity argument and the geometric constraint imposed by the cyclical-monotonicity of the support of an optimal transport plan. This is a joint work with Luigi de Pascale.

Funtores de biconjuntos y anillos de Burnside

Alberto G. Raggi — UNAM, México

Definimos la categoría cuyos objetos son los grupos finitos, con morfismos entre dos grupos, el grupo de Grothendieck de los biconjuntos. Estudiamos los funtores aditivos de esta categoría los R-módulos con R un anillo conmutativo, llamados funtores de biconjuntos o Funtores de Mackey, también estudiamos los funtores de Green que son los monoides de esta categoría. Estudiamos problemas de inducción en estas categorías luego estudiamos el funtor de Burnside como funtor de Green y por último algunas propiedades de este funtor y de sus valores en distintos grupos.

Potenciales estocásticos de aplicaciones del intervalo

Juan Rivera-Letelier — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Consideraremos el formalismo termodinámico de una aplicación del intervalo $f$ y un potencial continuo $\varphi$. Denotaremos la presion por $P(f, \varphi)$. Desde comienzos de los años 1980 han habido muchos resultados para el caso en que para algun entero $n \ge 1$ la funcion $S_n(\varphi) = \varphi + \varphi \circ f + \cdots + \varphi \circ f^{n - 1}$ satisface $ (*) \ \sup \frac{1}{n} S_n(\varphi) < P(f, \varphi). $ Por ejemplo, se sigue de cualquiera de los trabajos de Hofbauer y Keller, Baladi y Keller o de Liverani, Saussol y Vaienti que la propiedad (*), junto con distintas hipótesis mas bien débiles, implica la existencia de un estado de equilibrio exponencialmente mezclante. Demostraremos que si la aplicación del intervalo y el potencial son suficientemente regulares, entonces estos resultados son óptimos: la existencia de un estado de equilibrio exponencialmente mezclante implica (*). Además daremos otras caracterizaciones de la propiedad (*) y especularemos sobre su (falta de) genericidad. Este es un trabajo en colaboración con Irene Inoquio - Renteria (USP, Sao Carlos).

On the abundance of physical measures for partially hyperbolic dynamics

Vítor Araújo — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

We show that each strongly partially hyperbolic $C^2$ diffeomorphim, with one-dimensional subbundles and whose unstable foliation is $C^2$ smooth and minimal, either admits a unique physical measure with full basin, or is $C^2$ close to a $C^2$-open subset of partially hyperbolic diffeomorphism with unique physical measures with full basin in the whole manifold. Our methods apply to both conservative and dissipative perturbations. Two examples are presented: the time-one map of the geodesic flow on surfaces of constant negative curvature, and a Derived from Anosov example on the $3$-torus.

The Siegel center problem in ultrametric dynamics

Karl-Olof Lindahl — Linnaeus University, Suecia

We consider the `Siegel center problem' (i.e. local linearization of power series about indifferent fixed points) for ultrametric fields. It is known since a paper of Herman and Yoccoz in 1981 that Siegel's linearization theorem for the complex field case is true also for ultrametric fields. They also showed that there exist examples in fields of prime characteristics where the Siegel, nor the weaker Brjuno condition is satisfied, imposing a problem of small divisors. However, until recently, it was still an open question whether these small divisors yield divergence of the corresponding conjugacy or not. In fact, it has been shown that the same multiplier may yield divergence of the conjugacy for some analytic functions and convergence for others. In other words, in the ultrametric setting (over fields of prime characteristics) the linearizability at an indifferent fixed point cannot be determined solely in terms of the multiplier. A complete solution of the problem is still to be found.

Descomposición ergódica y levantamiento de medidas

Vilton Pinheiro — Universidade Federal da Bahia, Brasil

Optimization and protection of arithmetic algorithms on low genus hyperelliptic curves

Rodrigo Abarzúa — Universidad de Santiago de Chile, Chile

El teorema de Birkhoff-Poincaré

Patricia Cirilo — IMPA, Brasil

De las tasas de mezcla a los tiempos de recurrencia

José F. Alves — Universidade do Porto, Portugal

Estabilidad y caos

Vanderlei Horita — Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto, Brasil

Observable measures

Eleonora Catsigeras — Universidad de la República, Uruguay

We define the observable invariant probabilities as a slight generalization of the physical measures, such that the statistical meaning of these last is not lost. Precisely: for Lebesgue a.e. initial condition, the set O(f) of observable measures attracts the sequence of time averages when time goes to infinite. Besides O(f) is the minimal weak*-compact set of probabilities that has this property of attraction Lebesgue a.e. In other words, observable measures are necessary and sufficient to describe the future asymptotic behavior of the statistics of Lebesgue almost all orbit. They are mostly interesting if the system is not conservative, that is, f does not preserve any measure m equivalent to Lebesgue. (If it did, the observable measures are just all the ergodic components of m). We prove that any continuous dynamical system on a compact Riemannian manifold, has at least one observable probability. Nevertheless, observable measures are not necessarily ergodic,and the set of O(f) is not necessarily convex. As an example, if f is C1 expanding on the circle, the set of observable measures are equilibrium states for Log |f'|. So, all observable measures in this example, satisfy the Pesin's formula of the entropy, even if they are not necessarily SRB, i.e. they are not necessarily absolutely continuous respect to Lebesgue. This is the case of C1 generic expanding maps in the circle which are not C1 plus Hölder. For any continuous map f, O(f) include all the physical measures if these last exist, and is finite or countable infinite only if Lebesgue a.e. is attracted to a physical measure. If so, the set O(f) is just the weak*-closure of the physical measures.

Soluciones continuas para ecuaciones cohomológicas

Mario Ponce — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Linearización de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos en dimensión 3

Ali Tahzibi — ICMC-USP, São Carlos, Brasil

El principio de grandes desvíos para estados periódicos en los sistemas de spin cuánticos

Henri Comman — PUCV, Chile

Probamos un principio de grandes desvíos para distribuciones ponderadas de estados periódicos (más precisamente del promedio a lo largo del período). La funcón de tasa está dada de forma similar al caso de los sistemas dinámicos clásicos, vale decir por la entropía (promedia). Lo anterior permite obtener una versión cuántica de los resultados clásicos de Lanford acerca los grandes desvíos para Hamiltoniano "periodizado".Otra consecuencia es un reforzamiento de un resultado antiguo de Israel sobre la posibilidad de aproximar débilmente y en entropía cualquier estado invariante por estados de equilibrio de interacciones "short range".

La geometría de la ecuación de Maurer-Cartan

Cristian Ortiz — IMPA, Brasil

En este seminario estudiaremos la conocida ecuación de Maurer - Cartan en un grupo de Lie desde el punto de vista de las álgebras de Lie graduadas diferenciales. Explicaré como este marco más general puede ser usado para estudiar diversos problemas en geometria simpléctica.

Medidas invariantes para embaldosados de sustitución no primitivas

María Isabel Cortez — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta charla abordaremos conceptos generales de los sistemas de embaldosados, y en particular, de aquellos de sustitución. Describiremos como son las medidas invariantes (finitas e infinitas) de los sistemas de embaldosados que se obtienen a partir de sustituciones no primitivas. Esto está incluido en un trabajo en conjunto con B. Solomyak.

Análisis multifractal de promedios de Birkhoff

Godofredo Iommi — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Convergencia rápida a la densidad para embaldosados auto-similares en dimensión 2

Daniel Coronel — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Esta charla trata sobre embaldosados autosimilares en dimensión $2$. Consideramos el número de ocurrencia de una baldosa dada en cualquier dominio acotado por una curva de Jordan. Para una clase grande de embaldosados auto-similares, que incluye los ejemplos más conocidos, damos estimaciones de la oscilación de este número de ocurrencia alrededor de un promedio, el cual depende solo de la curva de Jordan.

Fabricando una órbita densa en el espacio de órdenes del grupo libre en 2 generadores

Cristóbal Rivas — Universidad de Chile, Chile

Probamos que la accion natural del grupo libre $F_2$ en su espacio de ordenes, $LO(F_2)$, tiene una orbita densa. Como aplicacion se re-muestra que $LO(F_2)$ no tiene ordenes aislados.

Ecuaciones cohomológicas: un encuentro entre sistemas dinámicos y EDP's

Alejandro Kocsard — Universidade Federal Fluminense, Brasil

Dinámica global de redes neuronales de tipo integrate and fire

Pierre Guiraud — Universidad de Valparaíso, Chile

El modelo ``Leaky Integrate and Fire" (LIF) es un modelo muy popular de la excitabilidad neuronal. Su popularidad se debe a su formulación simple que permite realizar simulaciones numéricas de redes neuronales a un bajo costo computacional, así como establecer resultados rigurosos desde un punto vista matemático. A pesar de esto, la dinámica global de tales redes es bastante desconocida, ya que la mayoría de los estudios se concentran en soluciones particulares del modelo. En esta charla se presentará un análisis de la dinámica global de una red neuronal de tipo LIF con interacciones fuertes entre neuronas. Se verá cómo el estudio de una aplicación de retorno de Poincaré permite demostrar la existencia de una dinámica compleja presentando ciclos límites y/o dependencia sensible al estado inicial. Es bien conocido como la persistencia de atractores extraños están asociados a la presencia de puntos homoclínicos tangenciales. En particular, en el caso de campos vectoriales, la existencia de dichos atractores se sigue ya en dimensión tres de la presencia de configuraciones homoclínicas de tipo Shil´nikov Sin embargo estas configuraciones no son fáciles de detectar en familias de campos. Es por ello de gran utilidad conocer singularidades de baja codimensión desde la que se desplieguen genéricamente estas u otras configuraciones que impliquen una dinámica observable, interesante y complicada. Durante la charla se aplicarán los resultados y conclusiones al caso particular de los sistemas acoplados y, en particular, al sistema que resulta de acoplar por difusión lineal dos Brusselator. En la medida en la que procesos simples interactúan para dar lugar a procesos más complejos, los resultados son de interés a la hora de establecer posibles jerarquías y rutas hacia la complejidad, por ejemplo, en las redes celulares.

Complejidad dinámica en sistemas acoplados

José Ángel Rodríguez — Universidad de Oviedo, España

Es bien conocido como la persistencia de atractores extraños están asociados a la presencia de puntos homoclínicos tangenciales. En particular, en el caso de campos vectoriales, la existencia de dichos atractores se sigue ya en dimensión tres de la presencia de configuraciones homoclínicas de tipo Shil´nikov Sin embargo estas configuraciones no son fáciles de detectar en familias de campos. Es por ello de gran utilidad conocer singularidades de baja codimensión desde la que se desplieguen genéricamente estas u otras configuraciones que impliquen una dinámica observable, interesante y complicada. Durante la charla se aplicarán los resultados y conclusiones al caso particular de los sistemas acoplados y, en particular, al sistema que resulta de acoplar por difusión lineal dos Brusselator. En la medida en la que procesos simples interactúan para dar lugar a procesos más complejos, los resultados son de interés a la hora de establecer posibles jerarquías y rutas hacia la complejidad, por ejemplo, en las redes celulares.

Sistemas dinámicos y cadenas de Markov: casos clásico y cuántico

Stéphane Attal — Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1, Francia

Dominios errantes y conjunto de Julia algebraicos

Eugenio Trucco — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Dado un polinomio ${P}$ con coeficientes en ${\mathsterling}$, la completación del cuerpo de series formales de Puiseux, estudiaremos la acción de ${P}$, como sistema dinámico, en la linea de Berkovich asociada a ${\mathsterling}$. Probaremos que toda componente errante del conjunto de Fatou está contenida en la cuenca de atracción de una órbita periódica. Mostraremos que la parte no clásica del conjunto de Julia de ${P}$ consiste de un numero finito de grandes órbitas de puntos periódicos. Además, daremos una caracterización de los polinomios cuyo conjunto de Julia es algebraico.

Dimension theory of Cantor series

Godofredo Iommi — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Cantor Series are a generalization of the base ``b" expansion of a real number to the case in which one has a sequence of bases ${\lbrace}b_1,b_2,{\dots}{\rbrace}$. In this talk we compute the Hausdorff dimension of the set of points for which the frequencies of the digits in the Cantor series expansion is given. We stress that the base of the Cantor series can be any sequences of positive integers. This is joint work with Bartlomiej Skorulski.

Nilsequences and a structure theorem for topological dynamical systems

Alejandro Maass — Universidad de Chile, Chile

We characterize inverse limits of nilsystems in topological dynamics, via a structure theorem for topological dynamical systems that is an analog of the structure theorem for measure preserving systems. We provide two applications of the structure. The first is to nilsequences, which have played an important role in recent developments in ergodic theory and additive combinatorics; we give a characterization that detects if a given sequence is a nilsequence by only testing properties locally, meaning on finite intervals. The second application is the construction of the maximal nilfactor of any order in a distal minimal topological dynamical system. We show that this factor can be defined via a certain generalization of the regionally proximal relation that is used to produce the maximal equicontinuous factor and corresponds to the case of order 1. (*) N.d.E. Trabajo conjunto con Bernard Host y Bryna Kra.

Estudio dinámico de métodos iterativos de alto orden de convergencia

Sergio Plaza — Universidad de Santiago de Chile, Chile

Campos vectoriales polinomiales con Jacobiano nilpotente

Álvaro Castañeda — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta exposición consideraremos una clase especial de campos vectoriales polinomiales. Para un número real negativo $\lambda$ y un entero positivo $n$, denotamos por $\mathcal{N}(\lambda,n)$ el conjunto consistente de los campos polinomiales en $\mathbb{R}^n$ de la forma $X={\lambda}I+H$ donde $I$ es la aplicación identidad y $H$ es un campo vectorial con matriz Jacobiana nilpotente. Motivados por la conjetura de Markus Yamabe que data del año 1960, estudiamos la dinámica del sistema $\dot{x}=X(x)$.

On the Hausdorff dimension spectrum for characteristic Lyapunov exponents for iteration of rational maps on the Riemann sphere

Feliks Przytycki — IMPAN, Polonia

I will prove that this spectrum is a Legendre transform of the geometric pressure, function i.e. of $t{\mapsto}P(f,{-t}{\log}{|f'|})$. I will discuss also Lyapunov irregular points. This generalizes known results for hyperbolic rational maps to all rational maps. These are results obtained jointly with Katrin Gelfert and Michal Rams.

Conjunto de Julia para el método de sigma-Schröeder

Gerardo Honorato — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta exposición estudiamos los aspectos dinámicos de un algoritmo para encontrar raíces de polinomios complejos que llamamos método de $\sigma$- Schroeder. Este tiene su origen en los trabajos de Ernst Schroeder que datan de 1870 y es presentado por T. Pomentale en 1971. El método $\sigma$- Schroeder resulta ser una generalización natural del método de Newton para raíces múltiples, así como el método de Koenig lo es para el clásico método de Newton. Centraremos la presentación en describir la naturaleza de los puntos fijos y el comportamiento en el conjunto de Julia de la aplicación racional $\sigma$-Schroeder aplicada a polinomios cúbicos.

Cómo ordenar trenzas

Andrés Navas F. — Universidad de Santiago de Chile, Chile

Durante los años 90, la teoría de los grupos de trenzas de Artin se vio revolucionada por el descubrimiento (por parte de P. Dehornoy) de una relación de orden total e invariante a izquierda. Si bien la prueba original de este resultado utiliza elementos sofisticados de lógica matemática y álgebra, W. Thurston esbozó posteriormente un argumento geométrico basado en los trabajos de Nielsen. De esta manera se obtienen muchos órdenes en el grupo de trenzas, uno de los cuales coincide con el de Dehornoy. En esta charla se discutirán propiedades finas de los órdenes de Nielsen -Thurston. Por ejemplo, se mostrará que estos órdenes son ``irreconocibles" a partir de cualquier familia finita de desigualdades. De manera sorprendente, las demostraciones reposan sobre ideas dinámicas. Los resultados a presentar han sido obtenidos recientemente en colaboración con B. Wiest, de la Univ. de Rennes 1.

Medidas conformes y decaimiento exponencial de correlaciones para sistemas de cubrimiento con pesos

Irene Inoquio R. — Universidad Católica del Norte, Chile

Esta exposición está basada sobre el artículo de Liverani, Saussol and Vaienti en Ergodic Theory 1998, donde para una clase grande de aplicaciones monótonas por pedazos sobre un espacio totalmente ordenando compacto se construye medidas conformes y una tasa exponencial mixing asociado a un estado de equilibrio. El método está basado sobre el estudio del operador Perrón Frobenius y usando una apropiada métrica de Hilbert y todo esto sin argumento de compacidad.

Involuciones en cuerpos con asas

Rubén A. Hidalgo — Universidad Técnica Federico Santa María, Chile

Sean $\mathbb{D}$ el disco cerrado unitario y $\mathbb{S}^1$ el circulo unitario. Un cuerpo con asas de género $g>0$ (respectivamente, de género $g=0$) es una variedad topológica $M$ homeomorfa a la suma conexa de $g$ copias de $\mathbb{D}\times\mathbb{S}^1$ (respectivamente, a la bola cerrada unitaria $3$-dimensional). El interior de $M$ posee muchas estructuras hiperbólicas, cada una de ellas es producida por un grupo Kleiniano $\Gamma$ isomorfo a grupo libre de rango $g$. Si $\Omega\subset\widehat{\mathbb{C}}$ denota la región de discontinuidad de $\Gamma$ (que puede ser vacío), entonces $S=\Omega/\Gamma$ es llamada el borde conformal de tal estructura. Aquellas estructuras hiperbólicas para las cuales $S$ cubre todo el borde topológico de $M$ son producidas exactamente cuando $\Gamma$ es un grupo de Schottky; en cuyo caso decimos que $\Gamma$ induce una estructura de Schottky en $M$. Sea $M$ un cuerpo con asas con alguna estructura de Schottky. Un automorfismo conformal (respectivamente, automorfismo anticonformal) es un homeomorfismo $h:M\to M$ cuya restricción al interior de $M$ es una isometría para la estructura hiperbólica correspondiente. Un automorfismo conformal (respectivamente, anticonformal) de orden $2$ es llamada una involución conformal (respectivamente, involución anticonformal). En esta charla presentaremos algunos resultados de clasificación y puntos fijos de involuciones conformales/anticonformales en cuerpos con asas con estructuras de Schottky.

Estimating the entropy of a Z^d shift of finite type with probabilistic methods

Ronnie Pavlov — University of British Columbia, Canadá

In symbolic dynamics, a $\mathbb{Z}^d$ shift of finite type (or SFT) is the set of all ways to assign elements from a finite alphabet A to all sites of $\mathbb{Z}^d$, subject to rules about which elements of A are allowed to appear next to each other. The (topological) entropy of any $Z$ SFT is easily computable (it is the log of an algebraic number). However, for $d>1$, the situation becomes more complex. There are in fact only a few nontrivial examples of $Z2$ SFTs whose entropies have explicit closed forms. For the $Z2$ golden mean shift (for which no explicit closed form for the entropy is known), we give a sequence of approximations to the entropy which converge at an exponential rate. This implies that this entropy is computable in polynomial time.

Radiación de Hawking con solitones

Mónica García Ñustes — Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, Venezuela

Clásicamente, la gravitación es tan poderosa alrededor de un agujero negro que nada, ni siquiera la radiación puede escapar de el. Sin embargo, S. Hawking mostró que los efectos cuánticos permitían que los agujeros negros emitieran radiación. Una visión simplificada de este proceso es que las fluctuaciones del vacío causan que un par partícula-antipartícula aparezcan cerca del horizonte de eventos. Una partícula cae dentro del agujero negro mientras la otra escapa. Para un observador externo, el proceso aparece como si escapara una partícula del agujero negro. En el presente seminario, mostraremos que la creación de un par de solitones kink-antikink cerca de una barrera de potencial, a traves de inestabilidades en los modos internos del solitón, puede ser seguida por el escape de un kink en un proceso análogo a la radiación de Hawking. Estos resultados tienen importantes implicaciones en un contexto más amplio incluyendo resonancia estocástica y sistemas tipo ratchet. Adicionalmente, se discute la posibilidad de observar el fenómeno en sistemas de materia condensada.

Conjetura de Markus-Yamabe para campos vectoriales polinomiales en R^3

Álvaro Castañeda — Universidad de Santiago de Chile, Chile

CMY (Conjetura Markus-Yamabe, 1960) Sea $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ un campo vectorial de clase $C^{1}$ tal que para cualquier $x\in\mathbb{R}^n$, el Jacobiano de $F$ en $x$ tiene todos los autovalores con parte real negativa. Si $F(p)=0$, entonces $p$ es un atractor global del sistema $x'=F(x)$. Daremos la construcción de la familia de campos vectoriales polinomiales que satisfacen la hipótesis de Markus Yamabe y que tienen órbitas que escapan al infinito para dimensión $n{\geq}3$, dada por A. Cima, A. Gasull y F. Mañosas. Luego haremos la extensión de este trabajo, y finalmente mostraremos una familia de campos polinomiales homogéneos que tienen al origen como atractor global.

Dinámica del método de Schröder

Gerardo Honorato — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta charla presentamos un algoritmo para encontrar raices de polinomios complejos conocido como método de Schroder. Este tiene su origen en los trabajos de Ernst Schroder que datan de 1870. Del punto de vista numérico, este método es más efectivo para polinomios con raíces múltiples que el método de Newton - Raphson. Aunque a partir del método de Newton - Raphson es posible derivar muchos resultados para el método de Schroder, estos dos métodos son dinámicamente muy disímiles. En efecto, presentamos un ejemplo para el cual el método de Schroder aplicado a un polinomio, tiene conjunto de Julia disconexo.

Dimension of equilibrium measures

Christophe Dupont — Universidad de Paris XI, Francia

The seminar will deal with holomorphic dynamical systems. We shall focus on the endomorphisms of the complex projective spaces $CP(k)$, for $k=1,2$. Classical results assert that these mappings have a unique mesure of maximal entropy mu, the so-called equilibrium measure. A natural question is to determine the Hausdorff dimension of mu (it gives in particular a bound from below for the dimension of its support). When $k=1$, R. Mané proved that the dimension of mu is given by the logarithm of the degree of f over the Lyapounov exponent of mu. That beautiful formula relies on the fact that a rational fraction is a conformal mapping. We investigate here the case $k = 2$, the endomorphisms in that context are no more conformal. We will actually present a lower bound for the Hausdorff dimension of mu, that estimate being sharp in view of a generalized Mané's formula.

La entropía para acciones de grupos en el círculo

Eduardo Jorquera — Universidad de Chile, Chile

En esta exposición consideraremos un grupo finitamente generado de homeomorfismos del círculo, definiremos de manera natural la entropía y el conjunto de puntos no errantes para la acción de este grupo generalizando la definición clásica para una transformación, y nuestro objetivo sera establecer bajo que hipótesis algebraica o de regularidad tendremos la igualdad entre la entropía de la acción en todo el círculo con la entropía de la acción en el conjunto de puntos no errantes tal como se tiene en el caso clásico de una transformación.

Sobre la estabilidad estocástica en sistemas dinámicos

Vítor Araújo — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil

Se presentará la noción de estabilidad estocástica para sistemas dinámicos discretos y algunos ejemplos de sistemas estocásticamente estables, juntamente con las principales ideas de la demostración de estabilidad estocástica.

Sobre embaldosados y sistemas dinámicos

María Isabel Cortez — Universidad de Santiago de Chile, Chile

En esta charla abordaremos conceptos generales de los sistemas de embaldosados, y en particular, de aquellos de sustitución. Describiremos como son las medidas invariantes (finitas e infinitas) de los sistemas de embaldosados que se obtienen a partir de sustituciones no primitivas. Esto está incluido en un trabajo en conjunto con B. Solomyak.

La entropía topológica como medida del desorden de un sistema dinámico y su cálculo en sistemas simples

Rafael Labarca B. — Universidad de Santiago de Chile, Chile

Lyapunov spectra for multimodal maps

Mike Todd — Universidade do Porto, Portugal

A dynamical system can be broken down into sets with the same asymptotic growth. Analysis of these sets provides a characterisation of the system. In this talk I will give recent results on the analysis of such sets for multimodal maps of the interval. I will focus on the interesting way these sets change when we look at maps which are less and less hyperbolic.

Un closing lemma para endomorfismos

Martín Sambarino — Universidad de la República, Uruguay

Grandes desvíos en sistemas dinámicos

Juan Rivera-Letelier — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En su forma mas simple, la teoria de grandes desvios es un refinamiento de la ley de los grandes numeros. En sistemas dinamicos que tienen alguna forma de hiperbolicidad, la teoria de grandes desvios se puede aplicar para obtener diversos refinanmientos del teorema ergodico de Birkhoff. El proposito de esta charla es discutir algunos resultados recientes de grandes desvios en sistemas dinamicos, obtenidos en colaboracion con H. Comman.

Free smooth Z^p-actions on the three torus dimensional

Richard Urzúa Luz — Universidad Católica del Norte, Chile

We show that for a spectrallly unitary $\Z^{p}$-action ${\bf A}$ on the first homology group $H_1(T^3,\Z)$ of the torus $T^3$ (i.e., 1 is an eigenvalue of ${\bf A}(\ell)$ for each $\ell \in \Z^p$), there exists a free $\Z^p$-action by real analytic diffeomorphisms on $T^3$ whose induced $\Z^p$-action on $H_1(T^3,\Z)$ is ${\bf A}$.

Cotas inferiores para discriminantes de cuerpo de números y conductores de Artin

Amalia Pizarro M. — Universidad de Chile, Chile

Consideremos una extensión Galoisiana $K/Q$ con grupo de Galois $G$. En esta charla, se mostrará un método para determinar cotas inferiores para Discriminantes de cuerpos de números y conductores de Artin, asociados a cada representación de $G$. Parte de este método de basa en determinar una fórmula explícita que relaciona el conductor con la $L$-función de Artin asociada a la representación.

Equilibrium states

Marcelo Viana — IMPA, Brasil

Fractional dimensions

Nuno Luzia — Instituto Superior Técnico de Lisboa, Portugal

Fractals type sets appear naturally as invariants sets of a dynamical system (iterative process). These sets possess non-integer dimension, fractional dimension. We say how to compute the Hausdorff dimension for a class of conformal (self-similar) fractal sets, e.g. middle-third Cantor set, Sierpinski carpet and gasket, Menger sponge, via the well-known Moran formula. Then we say how these formulas extend to the more complicated non-conformal scenario which apply to sets invariant under dynamical systems which possess two or more different rates of expansion (Lyapunov exponents).

Ergodic theory of dynamically regular transcendental functions

Mariusz Urbański — University of North Texas, Estados Unidos

In the present paper we provide a systematic account of the thermodynamic formalism for dynamically regular functions and tame potentials, i.e. of the form $-t log|f'|_{sg}+h$, where $t>\rho/\mathsf{a}$ ($\rho$ being the order of the transcendental function $f$ and $\mathsf{a}$ coming from the derivative growth condition) and $h$ is a balanced weakly Hölder function. The added term $h$ is not only just that we can do it, in fact, it naturally emerges from needs of multifractal analysis of Gibbs measures. The thermodynamic formalism presented in this talk is based on change of Riemannian metric, growth derivative condition, and the use of Nevanlina's theory, this last one to get upper bounds for Perron-Frobenius operators. The emerging picture is nearly as complete as in the case of rational functions of Riemann sphere. We prove variational principle, the existence and uniqueness of Gibbs states (with the definition appropriately adapted for the transcendental case) and equilibrium states of tame potentials, and that they coincide. There is also given a detailed description of spectral and asymptotic properties (spectral gap, Ionescu-Tulcea and Marinescu Inequality) of Perron-Frobenius operators, and their stochastic consequences such as the Central Limit Theorem, K-mixing, and exponential decay of correlations.. Thermodynamic formalism being interesting itself, we have also applied it to study the fractal structure of Julia sets. In particular, Bowen's formula is established identifying the Hausdorff dimension of the radial Julia set as the zero of the pressure function $t\mapsto\P(-t log|f'|_{sg})$, and the real-analytic dependence of the Hausdorff dimension on a reference parameter was shown. We want to stress that although Bowen's formula describes the Hausdorff dimension of the radial Julia set, the definition of pressure does not involve the concept of radial Julia sets at all. We will examine the finer fractal structure of the radial Julia sets by discussing the multifractal analysis of Gibbs states of tame potentials. Here again, the theory turns out to be as complete as for hyperbolic rational functions. Indeed, the multifractal spectrum function is proved to be convex, real-analytic and to be the Legendre transform conjugate to the temperature function. We can go even further, by showing that for a balanced deformation analytic family, the multifractal spectrum function is real-analytic also with respect to the parameter.

Dinámica de funciones racionales cuadráticas

Jan Kiwi — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Difeomorfismos parcialmente hiperbólicos

Fabián Contreras B. — Universidad Católica del Norte, Chile

En esta sesión introduciremos los sistemas parcialmente hiperbólicos. Veremos algunos ejemplos, y propiedades de estos sistemas: Hölder continuidad de las distribuciones, estabilidad de los sistemas parcialmente hiperbólicos y construcción de las foliaciones estables e inestables.

Dimensions of compact invariant sets of some expanding maps

Yuki Yayama — Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile, Chile

We study the Hausdorff dimension and measures of full Hausdorff dimension for a compact invariant set of an expanding nonconformal map on the torus given by an integer-valued diagonal matrix. The Hausdorff dimension of a ``general Sierpinski carpet" was found by Mc Mullen and Bedford and the uniqueness of the measure of full Hausdorff dimension was proved by Kenyon and Peres. We extend these results by using compensation functions to study a general Sierpinski carpet represented by a shift of finite type. We give some conditions under which a general Sierpinski carpet has a unique measure of full Hausdorff dimension and study the properties of the unique measure.

Dinámica simbólica de dos aplicaciones caóticas acopladas: desde el régimen desacoplado hasta la sincronización

Pierre Guiraud — Universidad de Valparaíso, Chile

En esta charla, se presenta un estudio de la dinámica acotada de dos aplicaciones caóticas acopladas en todo el rango de acoplamiento, desde el régimen desacoplado donde la entropia es máxima hasta el régimen de sincronización donde la entropia es mínima. Gracias a una formulación del problema en términos de dinámica simbólica, se obtienen estimaciones del conjuntos de los códigos, que describen como la dinámica esta gradualmente afectada por el aumento del acoplamiento. Las estimaciones se traducen en acotas de la entropía topológica que decrecen con acoplamiento. La comparación de estas cotas con la entropia calculada numericamente y su interpretación en el espacio de fase demuestran que aquellas describen la esencia de la transición del régimen desacoplado hacia la sincronización.

Dinámica y aritmética

Mario Ponce — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

En esta exposición trataremos sistemas dinámicos cuyo comportamiento está gobernado por ciertos valores reales que llamamos frecuencias. Daremos algunas ideas de cómo las propiedades aritméticas finas de estas frecuencias implican nociones de estabilidad para estas dinámicas. Note que los sistemas dinámicos que trataremos no poseen hiperbolicidad y luego las nociones de estabilidad son muy poco robustas y dependen estrechamente de la aritmética.

An open class of non-uniformly hyperbolic diffeomorphisms

Martín Andersson — Pontificia Universidade Católica de Rio de Janeiro, Brasil

This talk deals with statistical properties of iterations of diffeomorphisms. There has long been known that there are open classes of so-called uniformly hyperbolic diffeomorphisms for which the statistical properties of most orbits can be described in terms of a finite number of probability measures, known as physical measures. Although this is believed to be true in great generality, few specific results have been obtained. However, a noteworthy contribution to the theory was provided by a work of Alves, Bonatti and Viana (Invent. Math.2000) in which the authors weaken the hypothesis of uniform hyperbolicity to a notion of non-uniform one, called partial hyperbolicity with mostly expanding central direction. Recent research reveals that, although having mostly expanding central direction is not open/robust under small perturbations, it contains a robust (open) class of interesting (non-uniformly hyperbolic) diffeomorphisms. It can further be shown that, within this class, physical measures vary continuously with small perturbations of the dynamics.

Análisis multifractal para las aplicaciones de Gauss y de Rényi

Godofredo Iommi E. — Pontificia Universidad Católica de Chile, Chile

Todo número real posee una descomposición en fracciones continuas y en fracciones continuas reversas. Asociadas a estas descomposiciones tenemos dos sistemas dinámicos, uno definido por la transformacion de Gauss (que es hiperbólico) y el otro por la transformación de Renyi (que es no uniformemente hiperbólico). En esta charla discuteremos aspectos de la dinámica de estas aplicaciones y las relacionaremos con propiedades diofantinas de los números.

Formalismo termodinámico para aplicaciones trascendentales desde un punto de vista de dinámica simbólica

Irene Inoquio R. — Universidad Católica del Norte, Chile

Estudiamos algunos subconjuntos del Shift contable, estos pueden ser dotados de su propia métrica en el cual no necesariamente pueden ser extendida al shift. Identificamos una apropiada presión topológica para potenciales débilmente Hölder Continuos, luego como principal resultado construiremos medidas conformes y estados de equilibrios, La principal motivación es que estos subconjuntos codifican la dinámica de algunas aplicaciones trascendentales. Un ejemplo en particular es la familia de aplicaciones $E_{\lambda}(z):=\lambda\exp(z)$, with $z\in \mathbb{C}$ y ${\lambda\in}(0,1/e)$. En este ejemplo estamos interesados en el conjunto de los puntos finales desde el punto de vista de dinámica simbólica. Este subconjunto no es cerrado y su estructura geométrica es incompatible con la estructura del shift.

Sobre la construcción de la medida de Haar y la integral de Haar

Fabián Belmonte Aguilar — Universidad de Chile, Chile

Dado un grupo topológico Hausdorff localmente compacto G, demostraremos la existencia y unicidad (salvo ponderación positiva) de la medida de Haar izquierda. Para esto construiremos un funcional definido sobre las funciones continuas de soporte compacto $(C_{c}(G))$, positivo e invariante por traslación, conocido como la integral de Haar izquierda. Gracias al teorema de representación de Riesz, este funcional no solo inducirá la medida de Haar sino que además quedará representado por medio de una integral (de aquí su nombre). La invarianza de la integral por traslación izquierda se traspasará a $L_{p}(G)$ ($1\leq p < \infty$) gracias a la densidad de $C_{c}(G)$ en él, de aquí se obtiene la invarianza de la medida por traslación izquierda. Finalmente dejaremos algunas preguntas abiertas y dar algunos ejemplos concretos.